الدوال المثلثية ذات القوس المزدوج

في دراسة الدوال المثلثية، غالبًا ما تكون هناك مشكلات تتعلق بـ أقواس مزدوجة. لذلك ، فإن معرفة الصيغ المحددة لـ شرط, جيب التمام إنها ظل هذا النوع من القوس أساسي في تبسيط العديد من العمليات الحسابية.

ضع في اعتبارك أي قوس قياس $\ نقطة في البوصة {120} \ ألفا$ ، القوس المزدوج هو قوس القياس $\ نقطة في البوصة {120} 2 \ ألفا$ . بهذه الطريقة ، نريد الحصول على صيغ جيبية لـ $\ نقطة في البوصة {120} 2 \ ألفا$ وجيب التمام $\ نقطة في البوصة {120} 2 \ ألفا$ وظل $\ نقطة في البوصة {120} 2 \ ألفا$ .

شاهد المزيد

سيتنافس الطلاب من ريو دي جانيرو على الميداليات في الأولمبياد...

معهد الرياضيات مفتوح للتسجيل في الأولمبياد...

يمكن الحصول على هذه الصيغ من صيغ الجمع ثنائية القوس:

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathbf {sen (\ boldsymbol {\ alpha + \ beta}) sin \، \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \، \ boldsymbol {\ beta} + sin \، \ boldsymbol {\ beta} \ cdot cos \، \ boldsymbol {\ alpha}}$

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathbf {cos (\ boldsymbol {\ alpha + \ beta}) cos \، \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \، \ boldsymbol {\ beta} - sen \، \ boldsymbol {\ beta} \ cdot sen \، \ boldsymbol {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (\ boldsymbol {\ alpha + \ beta}) \ frac {sen (\ boldsymbol {\ alpha + \ beta})} {cos (\ boldsymbol {\ alpha + \ beta})} \ frac {tan \، \ boldsymbol {\ alpha} + tan \، \ boldsymbol {\ beta}} {1 - tan \، \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot tan \، \ boldsymbol {\ beta}}}$

تذكر استخدام هذه الصيغ من مثال حيث نحصل على جيب 75 درجة من جيب وجيب التمام زوايا رائعة 30 درجة و 45 درجة.

$\ dpi {120} \ mathrm {sen (75 ^ {\ circ}) sen (30 ^ {\ circ} + 45 ^ {\ circ}) sin \، 30 ^ {\ circ} \ cdot cos \، 45 ^ { \ circ} + sen \، 45 ^ {\ circ} \ cdot cos \، 30 ^ {\ circ}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {\ sqrt {2}} {2} + \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ cdot \ frac {\ sqrt {3}} {2}}$

$\ dpi {120} \ mathrm {\ frac {\ sqrt {2}} {4} + \ frac {\ sqrt {6}} {4}}$

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {\ frac {\ sqrt {2} + \ sqrt {6}} {4}}$

$\ نقطة في البوصة {120} 0.96$

الآن ، دعنا نرى كيف صيغت الدوال المثلثية ذات القوس المزدوج.

الدوال المثلثية للأقواس المزدوجة

اعطاء قوس للقياس $\ نقطة في البوصة {120} \ ألفا$ ، القوس المزدوج هو قوس القياس $\ نقطة في البوصة {120} 2 \ ألفا$ . منذ $\ نقطة في البوصة {120} 2 \ alpha \ alpha + \ alpha$ ، يمكننا استخدام الصيغ لإضافة قوسين للحصول على صيغ القوس المزدوج.

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) sen (\ boldsymbol {\ alpha + \ alpha}) sin \، \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \، \ boldsymbol {\ alpha} + sen \، \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \، \ boldsymbol {\ alpha}}$

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathbf {2. (sen \، \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \، \ boldsymbol {\ alpha})}$

لذلك ، فإن جيب قوس مزدوج يتم الحصول عليها بالصيغة التالية:

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathbf {sen (2 \ boldsymbol {\ alpha}) 2. (sen \، \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \، \ boldsymbol {\ alpha})}$

الآن ، انظر إلى ما يلي:

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) cos (\ boldsymbol {\ alpha + \ alpha}) cos \، \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot cos \، \ boldsymbol {\ alpha} - sen \، \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot sen \، \ boldsymbol {\ alpha}}$

$\ dpi {120} \ mathbf {cos ^ 2 \، \ boldsymbol {\ alpha} - sin ^ 2 \، \ boldsymbol {\ alpha}}$

لذلك ، فإن جيب التمام بقوس مزدوج يتم الحصول عليها بالصيغة التالية:

$\ dpi {120} \ mathbf {cos (2 \ boldsymbol {\ alpha}) cos ^ 2 \، \ boldsymbol {\ alpha} - sin ^ 2 \، \ boldsymbol {\ alpha}}$

فيما يتعلق بالماس ، لدينا:

$\ dpi {120} \ mathbf {tan (2 \ boldsymbol {\ alpha}) tan (\ boldsymbol {\ alpha + \ alpha}) \ frac {tan \، \ boldsymbol {\ alpha} + tan \، \ boldsymbol {\ alpha}} {1 - tan \، \ boldsymbol {\ alpha} \ cdot tan \، \ boldsymbol {\ alpha}}}$