ا القاسم المشترك الأكبر(MDC) بين اثنين أو أكثر الأعداد الكلية يتوافق مع الأكبر مقسم الشائع الموجود بينهما. ما بين أثنين كثيرات الحدود، لدى MDC نفس الفكرة.
وبالتالي ، لفهم كيفية حساب GCD بين كثيرات الحدود ، من المهم معرفة كيفية حساب GCD للأعداد الصحيحة.
شاهد المزيد
سيتنافس الطلاب من ريو دي جانيرو على الميداليات في الأولمبياد...
معهد الرياضيات مفتوح للتسجيل في الأولمبياد...
من الناحية العملية ، يمكن الحصول على MDC كمنتج لـ العوامل الأولية الشائعة التي توجد بين الأرقام.
مثال: احسب GCD بين 16 و 24.
التحلل إلى عوامل أولية:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
GCD بين 16 و 24 هو حاصل ضرب العوامل المشتركة بين العددين ، أي ،
GCD (16 ، 24) = 2. 2. 2 = 8.
لنرى الآن كيفية العثور على GCD من كثيرات الحدود. سنبدأ بأبسط حالة ، مع كثيرات حدود مكونة من مصطلح واحد: مونومال.
دعونا نرى بعض الأمثلة حول كيفية حساب GCD بين اثنين أو أكثر من المونوميرات.
مثال 1: MDC بين 6x و 15 x.
نتحلل إلى عوامل أولية ، لدينا:
6 = 2. 3 و 15 = 3. 5
لذلك ، يمكننا كتابة كل من monomials على النحو التالي:
6 س = 2. 3. x
15x = 3. 5. x
لذلك ، فإن MDC هو 3x.
المثال 2: MDC بين 18x²y و 30xy.
نتحلل إلى عوامل أولية ، لدينا:
18 = 2. 3. 3 و 30 = 2. 3. 5
لذلك ، يمكننا كتابة كل من monomials على النحو التالي:
18 ײ ص = 2. 3. 3. ײ. ص = 2. 3. 3. x. x. ذ
30xy = 2. 3. 5. x. ذ
2. 3. x. ص = 6 س
لذا ، فإن MDC هو 6xy.
للعثور على GCD لكثيرات الحدود ، نتحقق أولاً مما إذا كان من الممكن تحليل كل منها. لهذا ، نستخدم تقنيات عامل متعدد الحدود.
مثال 1: GCD بين (x² - y²) و (2x - 2y).
لاحظ أن كثير الحدود الأول يتوافق مع فرق بين مربعين. لذلك يمكننا تحليلها على النحو التالي:
x² - y² = (x - y). (x + y)
بالفعل في كثير الحدود الثاني ، يمكننا كتابة العامل المشترك 2 في الدليل:
2 س - 2 ص = 2. (س - ص)
بهذه الطريقة ، لدينا:
x² - y² = (س - ص). (س + ص)
2 س - 2 ص = 2.(س - ص)
إذن ، GCD بين كثيرات الحدود هو (س - ص).
المثال 2: GCD بين (x³ + 27) و (x² + 6x + 9).
كثير الحدود الأول يتوافق مع مجموع بين مكعبين ، انظر:
س³ + 27 = س³ + 3³ = (س + 3). (س² - 3 س + 9)
وكثير الحدود الثاني تربيع حاصل جمع حدين:
س² + 6 س + 9 = (س + 3) ² = (س + 3). (س + 3)
لذلك علينا أن:
س³ + 27 = (x + 3). (x² - 3x + 9).
x² + 6x + 9 = (x + 3). (x + 3).
لذلك ، فإن GCD بين كثيرات الحدود هو (س + 3).
المثال 3: GCD بين (2x² - 32) و (x³ + 12x² + 48x + 64).
هنا ، أول كثير حدود هو الفرق بين مربعين:
2x² - 32 = 2. (x² - 16) = 2. (x² - 4²) = 2. (x - 4). (x + 4)
في الوقت نفسه ، كثير الحدود الثاني هو مكعب مجموع حدين:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x) ³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (س) + (4) ³ = (س + 4) ³ = (س + 4). (س + 4). (س + 4)
لذلك علينا أن:
2 س² - 32 = 2. (س - 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4)(س + 4) (س + 4).
لذلك ، فإن GCD بين كثيرات الحدود هو (x + 4).
الخلط بين مفاهيم MDC و MMC (أقل مضاعف مشترك). ومع ذلك ، بينما يتوافق GCD مع القاسم المشترك الأعلى ، يتم إعطاء MMC بواسطة المضاعف المشترك الأصغر.
تعد MMC أداة مفيدة جدًا في حل المعادلات الكسرية لأن مقاماتها بشكل عام كسور ليسوا متشابهين.
في هذه الحالات ، ما نقوم به هو استخراج MMC بين المقامات ومن هناك نكتب الكسور المتكافئة من نفس المقام.
ومع ذلك ، فإن القواسم ليست أرقامًا معروفة دائمًا ، بل يمكن أن تكون تعبيرات جبرية أو متعددة الحدود. لذلك ، من الشائع أن تضطر إلى حساب MMC متعدد الحدود.
في هذا الوقت ، من المهم عدم الخلط والعوز أوجد GCD للمعادلة، عندما يكون ما يجب حسابه هو MMC للمعادلة.
قد تكون مهتمًا أيضًا:
