О най-голям общ делител(MDC) между две или повече цели числа съответства на най-големия разделител общо, което съществува между тях. Между полиноми, MDC има същата идея.
По този начин, за да разберете как да изчислите НОД между полиноми, е важно да знаете как да изчислите НОД на цели числа.
виж повече
Ученици от Рио де Жанейро ще се борят за медали на олимпиадата...
Институтът по математика е отворен за записване за олимпиадата...
На практика, MDC може да се получи като продукт на основни фактори общи, които съществуват между числата.
Пример: Изчислете GCD между 16 и 24.
Разлагане на прости множители:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
НОД между 16 и 24 е произведението на множителите, общи за двете числа, т.е.
НОД(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.
Сега да видим как да намерим НОД на полиноми. Ще започнем с най-простия случай, с полиноми, образувани от един член: the мономи.
Нека видим някои примери за това как да изчислим НОД между два или повече мономи.
Пример 1: MDC между 6x и 15x.
Разлагайки се на прости множители, имаме:
6 = 2. 3 и 15 = 3. 5
Следователно можем да напишем всеки от мономите по следния начин:
6x = 2. 3. х
15x = 3. 5. х
Следователно MDC е 3x.
Пример 2: MDC между 18x²y и 30xy.
Разлагайки се на прости множители, имаме:
18 = 2. 3. 3 и 30 = 2. 3. 5
Следователно можем да напишем всеки от мономите по следния начин:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. х. х. г
30xy = 2. 3. 5. х. г
2. 3. х. y = 6x
И така, MDC е 6xy.
За да намерим НОД на полиноми, първо проверяваме дали е възможно да разложим на множители всеки от тях. За целта използваме техники на полиномна факторизация.
Пример 1: НОД между (x² – y²) и (2x – 2y).
Обърнете внимание, че първият полином съответства на разлика от два квадрата. Така че можем да го факторизираме, както следва:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Вече във втория полином можем да запишем общия множител 2 като доказателство:
2x – 2y = 2.(x – y)
По този начин имаме:
x² – y² = (x – y).(x + y)
2x – 2y = 2.(x – y)
И така, НОД между полиномите е (x – y).
Пример 2: НОД между (x³ + 27) и (x² + 6x + 9).
Първият полином съответства на сбор между два куба, вижте:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
И вторият полином, повдигнат на квадрат към сумата от два члена:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
И така, ние трябва:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Следователно НОД между полиномите е (x + 3).
Пример 3: НОД между (2x² – 32) и (x³ + 12x² + 48x + 64).
Тук първият полином е разликата между два квадрата:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
Междувременно вторият полином е кубът на сумата от два члена:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
И така, ние трябва:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Следователно НОД между полиномите е (x + 4).
Объркване между понятията MDC и MMC (най-малко общо кратно). Въпреки това, докато GCD съответства на най-големия общ делител, MMC се дава от най-ниското общо кратно.
MMC е много полезен инструмент при решаване на дробни уравнения, защото като цяло знаменателите на дроби не са еднакви.
В тези ситуации това, което правим, е да извлечем MMC между знаменателите и да пишем оттам еквивалентни дроби от същия знаменател.
Но знаменателите не винаги са известни числа, те могат да бъдат алгебрични изрази или полиноми. Следователно е обичайно да се налага да се изчислява полином MMC.
По това време е важно да не се бъркате и да искате намерете НОД на уравнението, когато това, което трябва да се изчисли, е MMC на уравнението.
Може също да се интересувате от:
