Основен принцип на броенето

основен принцип на броенето (PFC) е един от методите за броене на числа комбинаторен анализ. Този принцип ни позволява да изчислим броя на възможните комбинации с елементи, които могат да бъдат получени по различни начини.

PFC е прост, но много полезен метод, който се използва широко при проблеми с вероятностите, за определяне на броя на възможните събития.

виж повече

Ученици от Рио де Жанейро ще се борят за медали на олимпиадата...

Институтът по математика е отворен за записване за олимпиадата...

основен принцип на броенето

За да обясним повече за PFC, нека използваме някои примери.

Пример 1

За да отиде от къщата си до зоологическата градина, Хулио трябва да вземе автобус, който го отвежда до гарата, а на гарата трябва да вземе друг автобус.

Да предположим, че има три автобусни линии, които ви отвеждат до гарата, линии A1, A2 и A3, и че има две линии, които ви отвеждат от гарата до зоопарка, линии B1 и B2. Диаграмата по-долу илюстрира тази ситуация:

По възможно най-много начини Хулио може да отиде от къщата си до зоологическата градина, комбинирайки наличните автобусни линии.

От илюстрацията можем да видим, че има общо 6 възможности. Въпреки това можем да открием този резултат дори без илюстрацията.

Чрез PFC умножаваме броя на възможните редове в първата част на пътя по броя на възможните редове във втората част:

От дома до гарата: Линии A1, A2 и A3 → 3 различни начини;
От гарата до зоопарка: Линии B1 и B2 → 2 различни начини;

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 2 6}$

Пример 2

В ресторант клиентът може да избира между 4 варианта за предястие, 5 варианта за основно ястие и 3 варианта за десерт. По колко възможни начина клиентът може да избере предястие, основно ястие и десерт в този ресторант?

Забранено: 4 настроики;
Основно ястие: 5настроики;
Десерт: 3 настроики.

По PFC, просто умножете тези три количества: $\dpi{120} \boldsymbol{4 \times 5 \times 3 60}$

Следователно в този ресторант има 60 възможни комбинации, от които клиентът може да избира, с предястие, основно ястие и десерт.

Пример 3

Колко различни думи могат да се образуват чрез промяна на реда на буквите в думата УЧИЛИЩЕ?

Виж, че буквите на думата училище не се повтарят, всички са различни. Тогава в образуваните думи също не може да има повтарящи се букви.

Имайки предвид 6-те възможни позиции за буквите в думата, имаме:

1-ва позиция: 6 налични писма;
2-ра позиция: 5 налични писма;
3-та позиция: 4 налични писма;
4-та позиция: 3 налични писма;
5-та позиция: 2 налични писма;
6-та позиция: 1 налично писмо.

По PFC, просто умножете тези количества:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 720}$

Вижте колко важен е PFC! Без него ще трябва да запишем всички възможни думи и след това да ги преброим, за да стигнем до числото 720.

Наричат се думи, образувани от буквите на др анаграми.

Вероятност

PFC има много приложение при проблемите на вероятност. Принципът се използва за определяне на броя на възможните събития в експеримент.

Пример:

Зарът се хвърля три пъти подред и полученото лице се проверява. Каква е вероятността да има четно лице при първото хвърляне, нечетно при второто хвърляне и лице, по-голямо от 4 при третото хвърляне?

Благоприятни случаи:

1-ви старт: 3 възможности (лица 2, 4 и 6);
2-ро стартиране: 3 възможности (лица 1, 3 и 5);
3-то стартиране: 2 възможности (лице 5 и 6).

Чрез PFC, за да получите броя на благоприятните случаи, просто умножете количествата:

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 3 \times 2 18}$

Възможни случаи:

1-ви старт: 6 възможности (лица 1, 2, 3, 4, 5 и 6);
2-ро стартиране: 6 възможности (лица 1, 2, 3, 4, 5 и 6);
3-то стартиране: 6 възможности (лица 1, 2, 3, 4, 5 и 6).

Чрез PFC можем също да получим броя на възможните случаи:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 6\times 6 216}$

Така можем да изчислим желаната вероятност:

$\dpi{120} \boldsymbol{P \frac{Общо \, от \, случаи\, \acute{a}able}{Общо \, от\, възможни \ случаи} \frac{18}{216} \ frac{ 1}{12} \приблизително 0,083}$

Следователно шансът да излезе с четно лице при първото хвърляне, нечетно лице при второто хвърляне и лице, по-голямо от 4 при третото хвърляне, е едно към дванадесет, което се равнява приблизително на 0,083 или 8,3%.

Комбинаторен анализ

От PFC се получават други техники за броене на елементи: пермутация, подреждане и комбинация.

Пермутация

Позволява ви да изчислите броя на възможностите за организиране на общо n елемента, променяйки позициите на елементите помежду си.

$\dpi{120} P_n n!$

Аранжировка

Позволява да се изчисли броят на възможностите за организиране на n елемента в групи с размер p, когато редът на елементите е важен във всяка група.

$\dpi{120} A_{n, p} \frac{n!}{(n-p)!}$

Комбинация

Позволява да се изчисли броят на възможностите за организиране на n елемента в групи с размер p, когато редът на елементите не е важен във всяка група.

$\dpi{120} C_{n, p} \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Може също да се интересувате от:

условна вероятност
статистика
Групиране на данни в диапазони
Мерки за дисперсия
Средна стойност, режим и медиана

ТАЙНА: какво всъщност представлява тази малка черна точка върху банановата кора?

Основен принцип на броенето

основен принцип на броенето

Вероятност

Комбинаторен анализ

ТАЙНА: какво всъщност представлява тази малка черна точка върху банановата кора?

Гений ли си Докажете го, като решите този проблем бързо

Enem 2023: нов инструмент обещава да ускори темпото на обучение