Умножение и деление на алгебрични дроби

Към алгебрични дроби са фракции, в които се появяват полиноми в числителя и знаменателя или поне в знаменателя.

Примери:

виж повече

Ученици от Рио де Жанейро ще се борят за медали на олимпиадата...

Институтът по математика е отворен за записване за олимпиадата...

$\dpi{120} \mathrm{\frac{2x}{5y}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{x-1}{2y^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{a-b}{a^2-b^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{1}{x^3 -8}}$

По този начин умножението и делението на алгебрични дроби включва изчисления между полиноми, т.е. включва операции между членове с една или повече променливи.

Умножаване на алгебрични дроби

А умножение на алгебрични дроби е подобен на умножаване на числови дроби.

Просто умножете числителите заедно и умножете знаменателите заедно.

Запомнете това в умножение на правомощията Ако основите са еднакви, запазете основата и добавете експонентите: $\dpi{120} \mathrm{x^n.x^m x^{n+ m}}$ .

Примери:

а) Пресметнете $\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3} \frac{x^3\cdot 5x^2}{3y\cdot 2y^ 3} \frac{5x^{5}}{6y^4}}$

б) Изчислете $\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x} \frac{\cancel{\mathrm{x}}\cdot y\cdot \cancel{\mathrm {a}}}{a^{\cancel{2}}\cdot b\cdot 2\cdot \cancel{\mathrm{x}}} \frac{y}{2ab}}$

Имайте предвид, че когато правим умножение, можем да опростим алгебричната дроб, като анулираме равните множители.

Деление на алгебрични дроби

А деление на алгебрични дроби е подобен на деление на числови дроби. Просто запазете първата дроб и умножете по реципрочната на втората дроб.

Реципрочната стойност на втората дроб се получава чрез размяна на числителя и знаменателя.

Примери:

а) Пресметнете $\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y}}$ .

Като запазим първата дроб и умножим по реципрочната на втората, имаме:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} }$

Така че просто трябва да решим това умножение между дроби:

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} \frac{12xy}{8x^5y} \frac{3}{2x^4} }$

Следователно резултатът от разделянето е:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} \frac{3}{2x^4}}$

б) Изчислете $\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1}}$ .

Като запазим първата дроб и умножим по реципрочната на втората, имаме:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1} \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^ 2-1}{a^4} }$

Сега решаваме умножението между дроби:

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^2-1}{a^4} \frac{a\cdot (b^2-1)}{a ^4\cdot (b+1)} \frac{\cancel{\mathrm{a}}\cdot (b-1)\cdot \cancel{(\mathrm{b+1})}}{a^{\cancel{4}}\cdot \cancel{ (\mathrm{b+1})}} \frac{b-1}{a^3}}$