Тригонометрични функции с двойна дъга

В изследването на тригонометрични функции, често има проблеми, включващи двойни арки. Следователно, познавайки специфичните формули на синус, косинус то е допирателна този тип дъга е фундаментален за опростяване на много изчисления.

Помислете за всяка дъга от мярка $\dpi{120} \alpha$ , двойната дъга е дъгата на мярката $\dpi{120} 2\alpha$ . По този начин искаме да получим синусови формули на $\dpi{120} 2\alpha$ , косинус от $\dpi{120} 2\alpha$ и тангенс на $\dpi{120} 2\alpha$ .

виж повече

Ученици от Рио де Жанейро ще се борят за медали на олимпиадата...

Институтът по математика е отворен за записване за олимпиадата...

Тези формули могат да бъдат получени от формули за добавяне на две дъги:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\бета}}}$

Запомнете използването на тези формули от пример, в който получаваме синус от 75° от синус и косинус от забележителни ъгли 30° и 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Сега нека видим как формулите на тригонометрични функции с двойна дъга.

Тригонометрични функции на двойни дъги

Дадена е дъга от мярка $\dpi{120} \alpha$ , двойната дъга е дъгата на мярката $\dpi{120} 2\alpha$ . От $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , можем да използваме формулите за добавяне на две дъги, за да получим формулите за двойната дъга.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Следователно, на двоен арк синус се получава по следната формула:

$\dpi{120} \mathbf{сен (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Сега вижте това:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Следователно, на двоен арккосинус се получава по следната формула:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

По отношение на тангентата имаме:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + тен\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - тен\, \boldsymbol{\alpha} \cdot тен\, \boldsymbol{\alpha}}}$