Куб на сбора и куб на разликата

Куб на сбора и куб на разликата са два вида забележителни продукти, където два члена се добавят или изваждат и след това се подлагат на куб, т.е. с показател, равен на 3.

(x + y) ³ -> сума куб

(x – y) ³ -> куб на разликата

Кубът на сбора може да бъде записан и като (x+y). (x+y). (x + y) и кубът на разликата като (x – y). (x – y). (x – y).

Тези продукти получават името на забележителни продукти заради важността, която имат, тъй като се появяват често в алгебричните изчисления.

Сега не забравяйте, че в математиката същият израз може да бъде записан по друг начин, но без да се променя стойността му. Например x + 1 + 1 може да се запише просто като x + 2.

Често, когато пренаписваме израз, можем да опростим и решим много алгебрични проблеми. Затова нека видим друг начин за записване на куба на сбора и куба на разликата, като ги развием алгебрично.

сборен куб

О сборен куб е забележителното произведение (x + y) ³, което е същото като (x + y). (x+y). (x+y). По този начин можем да напишем:

(x + y) ³ = (x + y). (x+y). (x + y)

Сега, като вземем предвид това (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², кубът на сбора може да се запише като:

(x + y) ³ = (x + y). (x² + 2xy + y²)

Умножение на полинома (x + y) по (x² + 2xy + y²), можем да видим, че:

(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³

Добавяйки подобни членове, получаваме, че кубът на сумата се дава от:

(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Пример:

Развийте всеки куб алгебрично:

а) (x + 5)²

(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³

= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125

= x³ +15x² +75x + 125

b) (1 + 2b) ³

(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³

 = 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³

= 1 + 6b + 12b² + 8b³

куб на разликата

О куб на разликата е забележителният продукт (x – y) ³, който е същият като (x – y). (x – y). (x – y). И така, ние трябва:

(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x – y)

Като (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², кубът на разликата може да се запише като:

(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)

Умножавайки (x – y) по (x² – 2xy + y²), можем да видим, че:

(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³

Добавяйки подобни членове, получаваме, че кубът на разликата е даден от:

(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³

Пример:

Развийте всеки куб алгебрично:

а) (x – 2)³

(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³

= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8

= x³ – 6x² + 12x – 8

б) (2а – б) ³

(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³

= 8a³ – 3.4a².b + 3.2a.b² – b³

= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³

Може също да се интересувате от:

• Факторизиране на алгебричен израз
• Алгебрично изчисление, включващо мономи
• алгебрични дроби