grundlæggende princip om at tælle (PFC) er en af taloptællingsmetoderne kombinatorisk analyse. Dette princip giver os mulighed for at beregne antallet af mulige kombinationer med elementer, der kan opnås på forskellige måder.
PFC er en enkel, men meget nyttig metode, der er meget brugt i sandsynlighedsproblemer til at bestemme antallet af mulige hændelser.
se mere
Studerende fra Rio de Janeiro vil konkurrere om medaljer ved OL...
Institut for Matematik er åben for tilmelding til OL...
For at forklare mere om PFC, lad os bruge nogle eksempler.
Eksempel 1
For at gå fra sit hus til zoologisk have skal Júlio tage en bus, der kører ham til stationen, og på stationen skal han tage en anden bus.
Antag, at der er tre buslinjer, der tager dig til stationen, linjerne A1, A2 og A3, og at der er to linjer, der tager dig fra stationen til zoologisk have, linje B1 og B2. Diagrammet nedenfor illustrerer denne situation:
På så mange måder som muligt kan Júlio gå fra sit hus til zoologisk have ved at kombinere de tilgængelige buslinjer.
Ud fra illustrationen kan vi se, at der er 6 muligheder i alt. Men vi kan opdage dette resultat selv uden illustrationen.
Ved PFC multiplicerer vi antallet af mulige linjer i den første del af stien med antallet af mulige linjer i den anden del:
Eksempel 2
I en restaurant kan kunden vælge mellem 4 muligheder for forret, 5 muligheder for hovedret og 3 muligheder for dessert. På hvor mange mulige måder kan en kunde vælge en forret, hovedret og dessert på denne restaurant?
Med PFC skal du bare gange disse tre mængder:
Derfor er der 60 mulige kombinationer, som kunden kan vælge imellem, med en forret, en hovedret og en dessert i denne restaurant.
Eksempel 3
Hvor mange forskellige ord kan der dannes ved at ændre rækkefølgen af bogstaverne i ordet SKOLE?
Se, at bogstaverne i ordet skole ikke gentages, de er alle forskellige. Så kan der i de dannede ord heller ikke være gentagne bogstaver.
I betragtning af de 6 mulige positioner for bogstaverne i ordet har vi:
Med PFC skal du bare gange disse mængder:
Se, hvor vigtig PFC er! Uden det ville vi skulle skrive alle mulige ord ned og derefter tælle dem for at nå frem til tallet 720.
Ord dannet af bogstaver i en anden kaldes anagrammer.
PFC har en masse anvendelse i problemerne med sandsynlighed. Princippet bruges til at bestemme antallet af mulige hændelser i et eksperiment.
Eksempel:
En terning kastes tre gange i træk, og det opnåede ansigt kontrolleres. Hvad er sandsynligheden for, at der er en lige side ved første kast, en ulige side på anden kast og en side større end 4 ved tredje kast?
Gunstige tilfælde:
Med PFC, for at få antallet af gunstige tilfælde, skal du bare gange mængderne:
Mulige tilfælde:
Ved PFC kan vi også få antallet af mulige sager:
Således kan vi beregne den ønskede sandsynlighed:
Derfor er chancen for, at den kom med et lige ansigt ved første kast, et ulige ansigt ved andet kast og en flade større end 4 på det tredje kast er en ud af tolv, hvilket svarer til ca. 0,083 eller 8,3%.
Fra PFC opnås andre teknikker til at tælle elementer: permutation, arrangement og kombination.
Permutation
Giver dig mulighed for at beregne antallet af muligheder for at organisere i alt n elementer ved at ændre elementernes placering indbyrdes.
Arrangement
Giver mulighed for at beregne antallet af muligheder for at organisere n elementer i grupper af størrelse p, når rækkefølgen af elementerne er vigtig inden for hver gruppe.
Kombination
Det giver mulighed for at beregne antallet af muligheder for at organisere n elementer i grupper af størrelse p, når rækkefølgen af elementerne ingen er vigtigt i hver gruppe.
Du kan også være interesseret: