Multiplicere og dividere algebraiske brøker

Til algebraiske brøker er brøker, hvori de optræder polynomier i tælleren og nævneren eller i det mindste i nævneren.

Eksempler:

se mere

Studerende fra Rio de Janeiro vil konkurrere om medaljer ved OL...

Institut for Matematik er åben for tilmelding til OL...

$\dpi{120} \mathrm{\frac{2x}{5y}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{x-1}{2y^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{a-b}{a^2-b^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{1}{x^3 -8}}$

Således involverer multiplikation og division af algebraiske brøker beregninger mellem polynomier, det vil sige, det involverer operationer mellem led med en eller flere variable.

Multiplikation af algebraiske brøker

EN gange algebraiske brøker ligner gange numeriske brøker.

Du skal bare gange tællerne sammen og gange nævnerne sammen.

Husk det i multiplikation af magter Hvis baserne er de samme, behold basen og tilføj eksponenterne: $\dpi{120} \mathrm{x^n.x^m x^{n+ m}}$ .

Eksempler:

a) Beregn $\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3} \frac{x^3\cdot 5x^2}{3y\cdot 2y^ 3} \frac{5x^{5}}{6y^4}}$

b) Beregn $\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x} \frac{\cancel{\mathrm{x}}\cdot y\cdot \cancel{\mathrm {a}}}{a^{\cancel{2}}\cdot b\cdot 2\cdot \cancel{\mathrm{x}}} \frac{y}{2ab}}$

Bemærk, at når vi multiplicerer, kan vi forenkle den algebraiske brøk ved at annullere de lige faktorer.

Division af algebraiske brøker

EN opdeling af algebraiske brøker ligner division af numeriske brøker. Bare behold den første brøk og gange med den gensidige af den anden brøk.

Den reciproke af anden brøk fås ved at skifte tæller og nævner rundt.

Eksempler:

a) Beregn $\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y}}$ .

Ved at beholde den første brøk og gange med den gensidige af den anden, har vi:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} }$

Så vi skal bare løse denne multiplikation mellem brøker:

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} \frac{12xy}{8x^5y} \frac{3}{2x^4} }$

Derfor er resultatet af opdelingen:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} \frac{3}{2x^4}}$

b) Beregn $\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1}}$ .

Ved at beholde den første brøk og gange med den gensidige af den anden, har vi:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1} \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^ 2-1}{a^4} }$

Nu løser vi multiplikationen mellem brøker:

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^2-1}{a^4} \frac{a\cdot (b^2-1)}{a ^4\cdot (b+1)} \frac{\cancel{\mathrm{a}}\cdot (b-1)\cdot \cancel{(\mathrm{b+1})}}{a^{\cancel{4}}\cdot \cancel{ (\mathrm{b+1})}} \frac{b-1}{a^3}}$