Sådan finder du GCD af polynomier

O største fælles divisor(MDC) mellem to eller flere hele tal svarer til den største skillevæg fælles der er mellem dem. Ind i mellem polynomier, MDC har samme idé.

For at forstå, hvordan man beregner GCD mellem polynomier, er det derfor vigtigt at vide, hvordan man beregner GCD af heltal.

På en praktisk måde kan MDC fås som produktet af primære faktorer fælles, der findes mellem tallene.

Eksempel: Beregn GCD mellem 16 og 24.

Nedbrydning til primære faktorer:

GCD mellem 16 og 24 er produktet af de faktorer, der er fælles for de to tal, dvs.

GCD(16; 24) = 2. 2. 2 = 8.

Lad os nu se hvordan man finder GCD af polynomier. Vi starter med det enkleste tilfælde, med polynomier dannet af et enkelt led: den monomialer.

GCD af monomialer

Lad os se nogle eksempler på, hvordan man beregner GCD mellem to eller flere monomialer.

Eksempel 1: MDC mellem 6x og 15x.

Nedbrydes i prime faktorer har vi:

6 = 2. 3 og 15 = 3. 5

Derfor kan vi skrive hver af monomierne som følger:

6x = 2. 3. x

15x = 3. 5. x

Derfor er MDC 3x.

Eksempel 2: MDC mellem 18x²y og 30xy.

Nedbrydes i prime faktorer har vi:

18 = 2. 3. 3 og 30 = 2. 3. 5

Derfor kan vi skrive hver af monomierne som følger:

18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. x. x. y

30xy = 2. 3. 5. x. y 

2. 3. x. y = 6x

Så det er MDC 6xy.

GCD af polynomier

For at finde polynomiers GCD kontrollerer vi først, om det er muligt at faktorisere hver af dem. Til dette bruger vi teknikker til polynomiel faktorisering.

Eksempel 1: GCD mellem (x² – y²) og (2x – 2y).

Bemærk, at det første polynomium svarer til en forskel på to kvadrater. Så vi kan forholde os til det som følger:

x² – y² = (x – y).(x + y)

Allerede i det andet polynomium kan vi skrive den fælles faktor, 2, som bevis:

2x – 2y = 2.(x – y)

På denne måde har vi:

x² – y² = (x - y).(x + y)

2x – 2y = 2.(x - y)

Så GCD mellem polynomierne er (x - y).

Eksempel 2: GCD mellem (x³ + 27) og (x² + 6x + 9).

Det første polynomium svarer til en sum mellem to terninger, se:

x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)

Og det andet polynomium, kvadreret til summen af ​​to led:

x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)

Så vi skal:

x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)

x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)

Derfor er GCD mellem polynomierne (x + 3).

Eksempel 3: GCD mellem (2x² – 32) og (x³ + 12x² + 48x + 64).

Her er det første polynomium en forskel mellem to kvadrater:

2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)

I mellemtiden er det andet polynomium terningen af ​​summen af ​​to led:

x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)

Så vi skal:

2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)

x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)

Derfor er GCD mellem polynomierne (x + 4).

Forskellen mellem MMC og MDC

Forvirring mellem begreberne MDC og MMC (mindste fælles multiplum). Men mens GCD svarer til den højeste fælles divisor, er MMC givet ved det laveste fælles multiplum.

MMC er et meget nyttigt værktøj til at løse brøkligninger, fordi nævnerne i brøker de er ikke ens.

I disse situationer er det, vi gør, at udtrække MMC'en mellem nævnerne og derfra skrive ækvivalente fraktioner af samme nævner.

Nævnere er dog ikke altid kendte tal, de kan være algebraiske udtryk eller polynomier. Derfor er det almindeligt at skulle beregne polynomium MMC.

På dette tidspunkt er det vigtigt ikke at forvirre og ville find ligningens GCD, når det der skal beregnes er ligningens MMC.

Du kan også være interesseret:

• Øvelser om ækvivalente brøker
• Sådan tilføjes og trækkes brøker fra
• Praktisk metode til at løse 1. grads ligninger
• Delbarhedskriterier