Der er nogle teknikker til polynomiel faktorisering som giver os mulighed for at skrive dem som en multiplikation af to eller flere polynomier.
For at lære at fremhæve et udtryk, lav gruppering, skriv som et perfekt kvadratisk trinomium og mange andre typer bemærkelsesværdige produkter, tjek en liste over løste faktureringsøvelser som vi forberedte.
se mere
Studerende fra Rio de Janeiro vil konkurrere om medaljer ved OL...
Institut for Matematik er åben for tilmelding til OL...
Spørgsmål 1. Skriv den fælles faktor ind i bevis, faktor polynomierne:
a) 15x + 15y
b) x² + 9xy
c) ab – a³b³
d) a²z + abz
Spørgsmål 2. Faktorer hvert af polynomierne:
a) x² – xy – x
b) 24x³ – 8x² – 56x³
c) a.(x + y) – b.(x + y)
d) b.(a – x) – c.(a – x)
Spørgsmål 3. Brug klynge- og fælles-faktor-i-bevis-teknikkerne til at faktorisere følgende polynomier:
a) a² + ab + ax + bx
b) bx² – 2by + 5x² – 10y
c) 2an + n -2am – m
d) ax – bx + cx + ay – by + cy
Spørgsmål 4. Polynomierne nedenfor viser forskelle mellem to kvadrater. Skriv hver af dem i faktoriseret form.
a) a² – 64
b) (x – 4)² – 16
c) (y + 1)² – 25
d) x² – (x + y)²
Spørgsmål 5. Faktorer følgende polynomium ved at skrive som en multiplikation:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
Spørgsmål 6. Tjek, at hver af trinomialerne nedenfor repræsenterer et perfekt kvadratisk trinomium, og foretag derefter faktoriseringen.
a) a² – 10ab + 25b²
b) x² – 8x + 25
c) 9x² – 6x + 1
d) 16a² + 24ab + 9b²
Spørgsmål 7. Udfyld polynomiet nedenfor, så det er et perfekt kvadratisk trinomium.
x² + 4x
Spørgsmål 8. Brug faktoriseringsteknikker til at finde ligningernes rødder:
a) x² – 9x = 0
b) x² – 64 = 0
c) y² – y = 0
d) x² – 1 = 0
a) 15x + 15y = 15.(x + y)
b) x² + 9xy = x.(x + 9y)
c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
d) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y -1)
b) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x².(3x – 1 – 7x)
c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
d) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
b) bx² – 2x² + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2x² – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
c) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
d) ax – bx + cx + ay – by + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
b) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
c) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
d) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a – b + 2 + a – b – 2). (a – b + 2 – a + b + 2) =
(2a – 2b). (4) =
4.(2a – 2b)
a) a² – 10ab + 25b²
Først tager vi kvadratroden af de termer vi kvadrerer:
√a² = Det
√25b² = 5b
Ligesom 2. Det. 5b = 10ab → resterende led af trinomiet. Så polynomiet er et perfekt kvadratisk trinomium.
Lad os faktorisere: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
b) x² – 8x + 25
√x² = x
√25 = 5
2. x. 5 = 10x → svarer ikke til det resterende led, som er 8x. Så polynomiet er ikke et perfekt kvadratisk trinomium.
c) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → resterende led af trinomialet. Så polynomiet er et perfekt kvadratisk trinomium.
Lad os faktorisere: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
d) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4
√9b² = 3b
2. 4. 3b = 24ab → resterende led af trinomiet. Så polynomiet er et perfekt kvadratisk trinomium.
Lad os faktor: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
Vi skal skrive et perfekt kvadratisk trinomium som følger: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Så vi skal finde værdien af y. Vi har:
2xy = 4x
2y = 4
y = 4/2
y = 2
Derfor skal vi tilføje udtrykket y² = 2² = 4 til polynomiet, så det er et perfekt kvadratisk trinomium: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
a) Placer x som bevis:
x.(x – 9) = 0
Så er x = 0 eller
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Rødder: 0 og 9
b) Vi har en forskel mellem to kvadrater:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
Det vil sige x + 8 = 0 eller x – 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Rødder: -8 og 8.
c) Bevis y:
y.(y – 1) = 0
Så y = 0 eller y – 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Rødder: 0 og 1
d) Husk at 1 = 1², vi har en forskel mellem to kvadrater:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1).(x – 1) = 0
Derfor er x + 1 = 0 eller x – 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Rødder: – 1 og 1.
Se også:
