Πώς να βρείτε το GCD πολυωνύμων

Ο μέγιστο κοινό διαιρέτη(MDC) μεταξύ δύο ή περισσότερων ολόκληροι αριθμοί αντιστοιχεί στο μεγαλύτερο διαιρών κοινό που υπάρχει μεταξύ τους. Ανάμεσα πολυώνυμα, το MDC έχει την ίδια ιδέα.

Έτσι, για να κατανοήσουμε πώς να υπολογίσουμε το GCD μεταξύ πολυωνύμων, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε πώς να υπολογίζουμε το GCD των ακεραίων.

Με πρακτικό τρόπο, το MDC μπορεί να ληφθεί ως το προϊόν του πρωταρχικούς παράγοντες κοινά που υπάρχουν μεταξύ των αριθμών.

Παράδειγμα: Υπολογίστε το GCD μεταξύ 16 και 24.

Αποσύνθεση σε πρώτους παράγοντες:

Το GCD μεταξύ 16 και 24 είναι το γινόμενο των κοινών παραγόντων για τους δύο αριθμούς, δηλαδή

GCD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.

Τώρα ας δούμε πώς να βρείτε το GCD πολυωνύμων. Θα ξεκινήσουμε με την απλούστερη περίπτωση, με πολυώνυμα που σχηματίζονται από έναν μόνο όρο: το μονοώνυμα.

GCD μονοωνύμων

Ας δούμε μερικά παραδείγματα για τον τρόπο υπολογισμού του GCD μεταξύ δύο ή περισσότερων μονοωνύμων.

Παράδειγμα 1: MDC μεταξύ 6x και 15x.

Διασπώνται σε πρώτους παράγοντες, έχουμε:

6 = 2. 3 και 15 = 3. 5

Επομένως, μπορούμε να γράψουμε καθένα από τα μονώνυμα ως εξής:

6x = 2. 3. Χ

15x = 3. 5. Χ

Επομένως, το MDC είναι 3x.

Παράδειγμα 2: MDC μεταξύ 18x²y και 30xy.

Διασπώνται σε πρώτους παράγοντες, έχουμε:

18 = 2. 3. 3 και 30 = 2. 3. 5

Επομένως, μπορούμε να γράψουμε καθένα από τα μονώνυμα ως εξής:

18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. Χ. Χ. y

30xy = 2. 3. 5. Χ. y 

2. 3. Χ. y = 6x

Έτσι, το MDC είναι 6xy.

GCD πολυωνύμων

Για να βρούμε το GCD των πολυωνύμων, πρώτα ελέγχουμε αν είναι δυνατόν να συντελεστεί το καθένα από αυτά. Για αυτό, χρησιμοποιούμε τεχνικές του πολυωνυμική παραγοντοποίηση.

Παράδειγμα 1: GCD μεταξύ (x² – y²) και (2x – 2y).

Σημειώστε ότι το πρώτο πολυώνυμο αντιστοιχεί σε διαφορά δύο τετραγώνων. Μπορούμε λοιπόν να το συνυπολογίσουμε ως εξής:

x² – y² = (x – y).(x + y)

Ήδη στο δεύτερο πολυώνυμο, μπορούμε να γράψουμε τον κοινό παράγοντα, 2, ως απόδειξη:

2x – 2y = 2.(x – y)

Με αυτόν τον τρόπο, έχουμε:

x² – y² = (x - y).(x + y)

2x – 2y = 2.(x - y)

Άρα, το GCD μεταξύ των πολυωνύμων είναι (x - y).

Παράδειγμα 2: GCD μεταξύ (x³ + 27) και (x² + 6x + 9).

Το πρώτο πολυώνυμο αντιστοιχεί σε ένα άθροισμα μεταξύ δύο κύβων, βλ.

x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)

Και το δεύτερο πολυώνυμο, τετράγωνο στο άθροισμα δύο όρων:

x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)

Άρα, πρέπει:

x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)

x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)

Επομένως, το GCD μεταξύ των πολυωνύμων είναι (x + 3).

Παράδειγμα 3: GCD μεταξύ (2x² – 32) και (x³ + 12x² + 48x + 64).

Εδώ, το πρώτο πολυώνυμο είναι μια διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων:

2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)

Εν τω μεταξύ, το δεύτερο πολυώνυμο είναι ο κύβος του αθροίσματος δύο όρων:

x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)

Άρα, πρέπει:

2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)

x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)

Επομένως, το GCD μεταξύ των πολυωνύμων είναι (x + 4).

Διαφορά μεταξύ MMC και MDC

Σύγχυση μεταξύ των εννοιών του MDC και MMC (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο). Ωστόσο, ενώ το GCD αντιστοιχεί στον υψηλότερο κοινό διαιρέτη, το MMC δίνεται από το χαμηλότερο κοινό πολλαπλάσιο.

Το MMC είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για την επίλυση κλασματικών εξισώσεων επειδή, γενικά, οι παρονομαστές του κλάσματα δεν είναι το ίδιο.

Σε αυτές τις περιπτώσεις, αυτό που κάνουμε είναι να εξάγουμε το MMC μεταξύ των παρονομαστών και από εκεί να γράφουμε ισοδύναμα κλάσματα του ίδιου παρονομαστή.

Ωστόσο, οι παρονομαστές δεν είναι πάντα γνωστοί αριθμοί, μπορεί να είναι αλγεβρικές εκφράσεις ή πολυώνυμα. Επομένως, είναι σύνηθες να πρέπει να υπολογίσουμε το πολυωνυμικό MMC.

Αυτή τη στιγμή, είναι σημαντικό να μην μπερδεύεστε και να θέλετε βρείτε το GCD της εξίσωσης, όταν αυτό που πρέπει να υπολογιστεί είναι το MMC της εξίσωσης.

Μπορεί επίσης να σας ενδιαφέρει:

• Ασκήσεις για ισοδύναμα κλάσματα
• Πώς να προσθέσετε και να αφαιρέσετε κλάσματα
• Πρακτική μέθοδος επίλυσης εξισώσεων 1ου βαθμού
• Κριτήρια διαιρετότητας