Τριγωνομετρικές συναρτήσεις διπλού τόξου

click fraud protection

Στη μελέτη του τριγωνομετρικές συναρτήσεις, υπάρχουν συχνά προβλήματα που αφορούν διπλά τόξα. Επομένως, γνωρίζοντας τους συγκεκριμένους τύπους του ημίτονο, συνημίτονο είναι εφαπτομένη γραμμή αυτός ο τύπος τόξου είναι θεμελιώδης για την απλοποίηση πολλών υπολογισμών.

Εξετάστε οποιοδήποτε τόξο μέτρησης $\dpi{120} \άλφα$ , το διπλό τόξο είναι το τόξο του μέτρου $\dpi{120} 2\άλφα$ . Με αυτόν τον τρόπο, θέλουμε να λάβουμε ημιτονοειδείς τύπους του $\dpi{120} 2\άλφα$ , συνημίτονο του $\dpi{120} 2\άλφα$ και εφαπτομένη του $\dpi{120} 2\άλφα$ .

δείτε περισσότερα

Μαθητές από το Ρίο ντε Τζανέιρο θα αγωνιστούν για μετάλλια στους Ολυμπιακούς…

Ανοιχτό για εγγραφές για τους Ολυμπιακούς Αγώνες το Μαθηματικό Ινστιτούτο…

Αυτοί οι τύποι μπορούν να ληφθούν από το τύποι πρόσθεσης δύο τόξων:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Θυμηθείτε τη χρήση αυτών των τύπων από ένα παράδειγμα όπου λαμβάνουμε το ημίτονο 75° από το ημίτονο και το συνημίτονο του αξιόλογες γωνίες 30° και 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Τώρα, ας δούμε πώς οι τύποι του τριγωνομετρικές συναρτήσεις διπλού τόξου.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις διπλών τόξων

Δίνεται τόξο μέτρου $\dpi{120} \άλφα$ , το διπλό τόξο είναι το τόξο του μέτρου

instagram story viewer

$\dpi{120} 2\άλφα$ . Από $\dpi{120} 2\άλφα \άλφα + \άλφα$ , μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους τύπους για την προσθήκη δύο τόξων για να λάβουμε τους τύπους για το διπλό τόξο.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Επομένως, ο διπλό τόξο ημίτονο προκύπτει από τον ακόλουθο τύπο:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Τώρα, δείτε ότι:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Επομένως, ο διπλό τόξο συνημίτονο προκύπτει από τον ακόλουθο τύπο:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Όσον αφορά την εφαπτομένη, έχουμε:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$