Υπάρχουν κάποιες τεχνικές του πολυωνυμική παραγοντοποίηση που μας επιτρέπουν να τα γράψουμε ως πολλαπλασιασμό δύο ή περισσότερων πολυωνύμων.
Για να μάθετε πώς να επισημαίνετε έναν όρο, κάντε ομαδοποίηση, γράψτε ως τέλειο τετράγωνο τριώνυμο και πολλά άλλα είδη αξιόλογα προϊόντα, δείτε ένα λίστα λυμένων ασκήσεων τιμολόγησης που ετοιμάσαμε.
δείτε περισσότερα
Μαθητές από το Ρίο ντε Τζανέιρο θα αγωνιστούν για μετάλλια στους Ολυμπιακούς…
Ανοιχτό για εγγραφές για τους Ολυμπιακούς Αγώνες το Μαθηματικό Ινστιτούτο…
Ερώτηση 1. Γράφοντας τον κοινό παράγοντα σε απόδειξη, συνυπολογίστε τα πολυώνυμα:
α) 15x + 15y
β) x² + 9xy
γ) ab – a³b³
δ) a²z + abz
Ερώτηση 2. Υπολογίστε κάθε ένα από τα πολυώνυμα:
α) x² – xy – x
β) 24x³ – 8x² – 56x³
γ) α.(x + y) – β.(x + y)
δ) β.(a – x) – c.(a – x)
Ερώτηση 3. Χρησιμοποιώντας τις τεχνικές ομαδοποίησης και κοινού παράγοντα σε αποδεικτικά στοιχεία, συνυπολογίστε τα ακόλουθα πολυώνυμα:
α) a² + ab + τσεκούρι + bx
β) bx² – 2by + 5x² – 10y
γ) 2an + n -2am – m
δ) ax – bx + cx + ay – by + cy
Ερώτηση 4. Τα πολυώνυμα παρακάτω δείχνουν διαφορές δύο τετραγώνων. Γράψτε το καθένα από αυτά σε παραγοντική μορφή.
α) a² – 64
β) (x – 4)² – 16
γ) (y + 1)² – 25
δ) x² – (x + y)²
Ερώτηση 5. Υπολογίστε το ακόλουθο πολυώνυμο γράφοντας ως πολλαπλασιασμό:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
Ερώτηση 6. Ελέγξτε ότι καθένα από τα παρακάτω τριώνυμα αντιπροσωπεύει ένα τέλειο τετράγωνο τριώνυμο και, στη συνέχεια, κάντε την παραγοντοποίηση.
α) a² – 10ab + 25b²
β) x² – 8x + 25
γ) 9x² – 6x + 1
δ) 16a² + 24ab + 9b²
Ερώτηση 7. Συμπληρώστε το παρακάτω πολυώνυμο, ώστε να είναι τέλειο τετράγωνο τριώνυμο.
x² + 4x
Ερώτηση 8. Χρησιμοποιώντας τεχνικές παραγοντοποίησης, βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων:
α) x² – 9x = 0
β) x² – 64 = 0
γ) y² – y = 0
δ) x² – 1 = 0
α) 15x + 15y = 15.(x + y)
β) x² + 9xy = x.(x + 9y)
γ) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
δ) a²z + abz = az.(a + b)
α) x² – xy – x = x.(x – y -1)
β) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x².(3x – 1 – 7x)
γ) α.(x + y) – β.(x + y) = (x + y).(α + β)
δ) β.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)
α) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
β) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
γ) 2an + n -2 π.μ. – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
δ) ax – bx + cx + ay – by + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
α) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
β) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
γ) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
δ) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(α – β + 2 + α – β – 2). (α – β + 2 – α + β + 2) =
(2α – 2β). (4) =
4.(2a – 2b)
α) a² – 10ab + 25b²
Αρχικά, παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα των όρων που τετραγωνίζουμε:
√a² = ο
√25b² = 5β
Όπως 2. ο. 5β = 10ab → υπόλοιπος όρος του τριωνύμου. Άρα το πολυώνυμο είναι ένα τέλειο τετράγωνο τριώνυμο.
Ας συντελεστούν: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
β) x² – 8x + 25
√x² = Χ
√25 = 5
2. Χ. 5 = 10x → δεν ταιριάζει με τον υπόλοιπο όρο που είναι 8x. Άρα το πολυώνυμο δεν είναι τέλειο τετράγωνο τριώνυμο.
γ) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → υπόλοιπος όρος του τριωνύμου. Άρα το πολυώνυμο είναι ένα τέλειο τετράγωνο τριώνυμο.
Ας συντελεστούν: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
δ) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4η
√9b² = 3β
2. 4η. 3β = 24ab → υπόλοιπος όρος του τριωνύμου. Άρα το πολυώνυμο είναι ένα τέλειο τετράγωνο τριώνυμο.
Ας συντελεστούν: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
Πρέπει να γράψουμε ένα τέλειο τετράγωνο τριώνυμο ως εξής: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Πρέπει λοιπόν να βρούμε την τιμή του y. Εχουμε:
2xy = 4x
2y = 4
y = 4/2
y = 2
Επομένως, πρέπει να προσθέσουμε τον όρο y² = 2² = 4 στο πολυώνυμο έτσι ώστε να είναι ένα τέλειο τετράγωνο τριώνυμο: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
α) Τοποθέτηση του x ως απόδειξη:
x.(x – 9) = 0
Τότε x = 0 ή
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Ρίζες: 0 και 9
β) Έχουμε διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
Δηλαδή, x + 8 = 0 ή x – 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Ρίζες: -8 και 8.
γ) Βάζοντας το y ως απόδειξη:
y.(y – 1) = 0
Άρα y = 0 ή y – 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Ρίζες: 0 και 1
δ) Αν θυμηθούμε ότι 1 = 1², έχουμε διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1).(x – 1) = 0
Άρα x + 1 = 0 ή x – 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Ρίζες: – 1 και 1.
Δείτε επίσης:
