Κύβος αθροίσματος και κύβος διαφοράς

Κύβος αθροίσματος και κύβος διαφοράς είναι δύο τύποι αξιόλογα προϊόντα, όπου προστίθενται ή αφαιρούνται δύο όροι και μετά κυβίζονται, δηλαδή με εκθέτη ίσο με 3.

(x + y) ³ -> κύβος αθροίσματος

(x – y) ³ -> κύβος διαφοράς

Ο κύβος αθροίσματος μπορεί επίσης να γραφτεί ως (x+y). (x+y). (x + y) και ο κύβος της διαφοράς ως (x – y). (x – y). (x - y).

Αυτά τα προϊόντα λαμβάνουν το όνομα αξιόλογων προϊόντων για τη σημασία που έχουν, καθώς εμφανίζονται συχνά σε αλγεβρικούς υπολογισμούς.

Τώρα, θυμηθείτε ότι, στα μαθηματικά, η ίδια έκφραση μπορεί να γραφτεί με άλλο τρόπο, αλλά χωρίς να αλλάξει η αξία της. Για παράδειγμα, το x + 1 + 1 μπορεί να γραφτεί απλά ως x + 2.

Συχνά, όταν ξαναγράφουμε μια έκφραση, μπορούμε να απλοποιήσουμε και να λύσουμε πολλά αλγεβρικά προβλήματα. Επομένως, ας δούμε έναν άλλο τρόπο γραφής του κύβου του αθροίσματος και του κύβου της διαφοράς, αναπτύσσοντάς τους αλγεβρικά.

κύβος αθροίσματος

Ο κύβος αθροίσματος είναι το αξιοσημείωτο γινόμενο (x + y) ³, το οποίο είναι το ίδιο με το (x + y). (x+y). (x+y). Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να γράψουμε:

(x + y) ³ = (x + y). (x+y). (x + y)

Τώρα, λαμβάνοντας υπόψη ότι (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², ο κύβος του αθροίσματος μπορεί να γραφτεί ως:

(x + y) ³ = (x + y). (x² + 2xy + y²)

Πολλαπλασιασμός του πολυωνύμου (x + y) με (x² + 2xy + y²), μπορούμε να δούμε ότι:

(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³

Προσθέτοντας παρόμοιους όρους, έχουμε ότι ο κύβος του αθροίσματος δίνεται από:

(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Παράδειγμα:

Αναπτύξτε κάθε κύβο αλγεβρικά:

α) (x + 5)²

(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³

= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125

= x³ +15x² +75x + 125

β) (1 + 2β) ³

(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³

 = 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³

= 1 + 6b + 12b² + 8b³

κύβος διαφοράς

Ο κύβος διαφοράς είναι το αξιοσημείωτο γινόμενο (x – y) ³, το οποίο είναι το ίδιο με το (x – y). (x – y). (x – y). Άρα, πρέπει:

(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x - y)

Όπως (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², ο κύβος της διαφοράς μπορεί να γραφτεί ως:

(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)

Πολλαπλασιάζοντας (x – y) με (x² – 2xy + y²), μπορούμε να δούμε ότι:

(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³

Προσθέτοντας παρόμοιους όρους, έχουμε ότι ο κύβος της διαφοράς δίνεται από:

(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³

Παράδειγμα:

Αναπτύξτε κάθε κύβο αλγεβρικά:

α) (x – 2)³

(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³

= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8

= x³ – 6x² + 12x – 8

β) (2α – β) ³

(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³

= 8a³ – 3,4a².b + 3,2a.b² – b³

= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³

Μπορεί επίσης να σας ενδιαφέρει:

• Παραγοντοποίηση Αλγεβρικής Έκφρασης
• Αλγεβρικός υπολογισμός με μονοώνυμα
• αλγεβρικά κλάσματα