Ασκήσεις για τους συντελεστές και την κοιλότητα της παραβολής

Ο γραφική παράσταση συνάρτησης 2ου βαθμού, f (x) = ax² + bx + c, είναι μια παραβολή και οι συντελεστές ο, σι είναι w σχετίζονται με σημαντικά χαρακτηριστικά της παραβολής, όπως το κοιλότητα.

Επιπλέον, το συντεταγμένες κορυφής μιας παραβολής υπολογίζονται από τύπους που περιλαμβάνουν τους συντελεστές και την τιμή του οξυδερκής δέλτα.

δείτε περισσότερα

Η ΜΚΟ θεωρεί «απίθανο» ομοσπονδιακό στόχο της ολοκληρωμένης εκπαίδευσης στη χώρα

Ένατη οικονομία στον πλανήτη, η Βραζιλία έχει μια μειοψηφία πολιτών με…

Με τη σειρά του, η διάκριση είναι επίσης συνάρτηση των συντελεστών και από αυτήν μπορούμε να προσδιορίσουμε εάν η συνάρτηση 2ου βαθμού έχει ή όχι ρίζες και ποιες είναι αυτές, εάν υπάρχουν.

Όπως μπορείτε να δείτε, από τους συντελεστές μπορούμε να καταλάβουμε καλύτερα το σχήμα μιας παραβολής. Για να καταλάβετε περισσότερα, δείτε α λίστα λυμένων ασκήσεων για την κοιλότητα της παραβολής και τους συντελεστές της συνάρτησης 2ου βαθμού.

Κατάλογος ασκήσεων σχετικά με τους συντελεστές και την κοιλότητα της παραβολής

Ερώτηση 1. Να προσδιορίσετε τους συντελεστές καθεμιάς από τις παρακάτω συναρτήσεις του 2ου βαθμού και να δηλώσετε την κοιλότητα της παραβολής.

α) f(x) = 8x² – 4x + 1

β) f (x) = 2x² + 3x + 5

γ) f (x) = 4x² – 5

ε) f (x) = -5x²

στ) f (x) = x² – 1

Ερώτηση 2. Από τους συντελεστές των παρακάτω τετραγωνικών συναρτήσεων, προσδιορίστε το σημείο τομής των παραβολών με τον άξονα τεταγμένων:

α) f (x) = x² – 2x + 3

β) f (x) = -2x² + 5x

γ) f (x) = -x² + 2

δ) f (x) = 0,5x² + 3x – 1

Ερώτηση 3. Υπολογίστε την τιμή της διάκρισης $\dpi{120} \bg_white \Delta$ και να εντοπίσετε αν οι παραβολές τέμνουν τον άξονα των τετμημάτων.

α) y = -3x² – 2x + 5

β) y = 8x² – 2x + 2

γ) y = 4x² – 4x + 1

Ερώτηση 4. Προσδιορίστε την κοιλότητα και την κορυφή καθεμιάς από τις παρακάτω παραβολές:

α) y = x² + 2x + 1

β) y = x² – 1

γ) y = -0,8x² -x + 1

Ερώτηση 5. Να προσδιορίσετε την κοιλότητα της παραβολής, την κορυφή, τα σημεία τομής με τους άξονες και να σχηματίσετε γραφική παράσταση την παρακάτω τετραγωνική συνάρτηση:

f(x) = 2x² – 4x + 2

Λύση της ερώτησης 1

α) f(x) = 8x² – 4x + 1

Συντελεστές: a = 8, b = -4 και c = 1

Κοιλότητα: προς τα πάνω, αφού a > 0.

β) f (x) = 2x² + 3x + 5

Συντελεστές: a = 2, b = 3 και c = 5

Κοιλότητα: προς τα πάνω, αφού a > 0.

γ) f (x) = -4x² – 5

Συντελεστές: a = -4, b = 0 και c = -5

Κοιλότητα: κάτω, γιατί a < 0.

ε) f (x) = -5x²

Συντελεστές: a = -5, b = 0 και c = 0

Κοιλότητα: κάτω, γιατί a < 0.

στ) f (x) = x² – 1

Συντελεστές: a = 1, b = 0 και c = -1

Κοιλότητα: προς τα πάνω, αφού a > 0.

Λύση της ερώτησης 2

α) f (x) = x² – 2x + 3

Συντελεστές: a= 1, b = -2 και c = 3

Το σημείο τομής με τον άξονα y δίνεται από το f (0). Το σημείο αυτό αντιστοιχεί ακριβώς στον συντελεστή c της τετραγωνικής συνάρτησης.

Σημείο τομής = c = 3

β) f (x) = -2x² + 5x

Συντελεστές: a= -2, b = 5 και c = 0

Σημείο τομής = c = 0

γ) f (x) = -x² + 2

Συντελεστές: a= -1, b = 0 και c = 2

Σημείο τομής = c = 2

δ) f (x) = 0,5x² + 3x – 1

Συντελεστές: a= 0,5, b = 3 και c = -1

Σημείο τομής = c = -1

Λύση της ερώτησης 3

α) y = -3x² – 2x + 5

Συντελεστές: a = -3, b = -2 και c = 5

Οξυδερκής:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. Ο. γ (-2)^2 - 4.(-3).5 64$

Εφόσον η διάκριση είναι μια τιμή μεγαλύτερη από 0, τότε η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε δύο διαφορετικά σημεία.

β) y = 8x² – 2x + 2

Συντελεστές: a = 8, b = -2 και c = 2

Οξυδερκής:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. Ο. c (-2)^2 - 4.8.2 -60$

Εφόσον η διάκριση είναι τιμή μικρότερη από 0, τότε η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα x.

γ) y = 4x² – 4x + 1

Συντελεστές: a = 4, b = -4 και c = 1

Οξυδερκής:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. Ο. c (-4)^2 - 4.4.1 0$

Εφόσον η διάκριση είναι ίση με 0, τότε η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε ένα μόνο σημείο.

Λύση της ερώτησης 4

α) y = x² + 2x + 1

Συντελεστές: a= 1, b = 2 και c= 1

Κοιλότητα: επάνω, επειδή a > 0

Οξυδερκής:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta 2^2 - 4. 1. 1 4 - 4 0$

Κορυφή:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} \frac{-2}{2} -1$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} 0$

V (-1,0)

β) y = x² – 1

Συντελεστές: a= 1, b = 0 και c= -1

Κοιλότητα: επάνω, επειδή a > 0

Οξυδερκής:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta 0^2 - 4. 1. (-1) 4$

Κορυφή:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} 0$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} \frac{-4}{4} -1$

V(0,-1)

γ) y = -0,8x² -x + 1

Συντελεστές: a= -0,8, b = -1 και c= 1

Κοιλότητα: κάτω, γιατί a < 0

Οξυδερκής:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta (-1)^2 - 4. (-0,8). 1 4,2$

Κορυφή:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} \frac{1}{-1,6} -0,63$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} \frac{-4,2}{-3,2} 1,31$

V(-0,63; 1,31)

Λύση της ερώτησης 5

f(x) = 2x² – 4x + 2

Συντελεστές: a = 2, b = -4 και c = 2

Κοιλότητα: επάνω, επειδή a > 0

Κορυφή:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a}\frac{4}{4} 1$

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta (-4)^2 -4. 2. 2 0$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} 0$

V(1.0)

Τομή με τον άξονα y:

c = 2 ⇒ τελεία (0, 2)

Τομή με τον άξονα x:

Οπως και $\dpi{120} \bg_white \Delta 0$ , τότε η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε ένα μόνο σημείο. Αυτό το σημείο αντιστοιχεί στις (ίσες) ρίζες της εξίσωσης 2x² – 4x + 2, οι οποίες μπορούν να προσδιοριστούν με ο τύπος του bhaskara: