O máximo común divisor(MDC) entre dos o más números enteros corresponde al mayor divisor común que existe entre ellos. Entre polinomios, el MDC tiene la misma idea.
Por lo tanto, para comprender cómo calcular el MCD entre polinomios, es importante saber cómo calcular el MCD de números enteros.
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De manera práctica, el MDC se puede obtener como el producto de la factores primos comunes que existen entre los números.
Ejemplo: Calcula MCD entre 16 y 24.
Descomposición en factores primos:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
El MCD entre 16 y 24 es el producto de los factores comunes a los dos números, es decir,
MCD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.
Ahora veamos cómo encontrar el MCD de polinomios. Empezaremos por el caso más sencillo, con polinomios formados por un solo término: el monomios.
Veamos algunos ejemplos de cómo calcular el MCD entre dos o más monomios.
Ejemplo 1: MDC entre 6x y 15x.
Descomponiendo en factores primos tenemos:
6 = 2. 3 y 15 = 3. 5
Por lo tanto, podemos escribir cada uno de los monomios de la siguiente manera:
6x = 2. 3. X
15x = 3. 5. X
Por lo tanto, el MDC es 3x.
Ejemplo 2: MDC entre 18x²y y 30xy.
Descomponiendo en factores primos tenemos:
18 = 2. 3. 3 y 30 = 2. 3. 5
Por lo tanto, podemos escribir cada uno de los monomios de la siguiente manera:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. X. X. y
30xy = 2. 3. 5. X. y
2. 3. X. y = 6x
Entonces, el MDC es 6xy.
Para encontrar el MCD de polinomios, primero verificamos si es posible factorizar cada uno de ellos. Para ello utilizamos técnicas de factorización de polinomios.
Ejemplo 1: MCD entre (x² – y²) y (2x – 2y).
Tenga en cuenta que el primer polinomio corresponde a una diferencia de dos cuadrados. Entonces podemos factorizarlo de la siguiente manera:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Ya en el segundo polinomio, podemos escribir el factor común, 2, en evidencia:
2x – 2y = 2.(x – y)
De esta forma tenemos:
x² – y² = (x - y).(x + y)
2x – 2y = 2.(x - y)
Entonces, el MCD entre los polinomios es (x - y).
Ejemplo 2: MCD entre (x³ + 27) y (x² + 6x + 9).
El primer polinomio corresponde a una suma entre dos cubos, ver:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
Y el segundo polinomio, al cuadrado de la suma de dos términos:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Entonces, tenemos que:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Por lo tanto, el MCD entre los polinomios es (x + 3).
Ejemplo 3: MCD entre (2x² – 32) y (x³ + 12x² + 48x + 64).
Aquí, el primer polinomio es una diferencia entre dos cuadrados:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
Por su parte, el segundo polinomio es el cubo de la suma de dos términos:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Entonces, tenemos que:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Por lo tanto, el MCD entre los polinomios es (x + 4).
Confusión entre los conceptos de MDC y CMM (minimo común multiplo). Sin embargo, mientras que GCD corresponde al máximo común divisor, MMC viene dado por el mínimo común múltiplo.
MMC es una herramienta muy útil para resolver ecuaciones fraccionarias porque, en general, los denominadores de las fracciones no son lo mismo
En estas situaciones lo que hacemos es extraer la MMC entre los denominadores y de ahí escribir fracciones equivalentes del mismo denominador.
Sin embargo, los denominadores no siempre son números conocidos, pueden ser expresiones algebraicas o polinomios. Por lo tanto, es común tener que calcular el polinomio MMC.
En este momento, es importante no confundirse y querer encontrar el MCD de la ecuación, cuando lo que hay que calcular es la MMC de la ecuación.
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