Multiplicar y dividir fracciones algebraicas

Hacia fracciones algebraicas son fracciones en las que aparecen polinomios en el numerador y el denominador o al menos en el denominador.

Ejemplos:

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$\dpi{120} \mathrm{\frac{2x}{5y}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{x-1}{2y^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{a-b}{a^2-b^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{1}{x^3 -8}}$

Así, la multiplicación y división de fracciones algebraicas involucra cálculos entre polinomios, es decir, involucra operaciones entre términos con una o más variables.

Multiplicar fracciones algebraicas

A multiplicar fracciones algebraicas es parecido a multiplicar fracciones numericas.

Solo multiplica los numeradores y multiplica los denominadores.

Recuerda que en multiplicacion de potencias Si las bases son iguales, mantén la base y suma los exponentes: $\dpi{120} \mathrm{x^n.x^m x^{n+ m}}$ .

Ejemplos:

a) Calcular $\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3} \frac{x^3\cdot 5x^2}{3y\cdot 2y^ 3} \frac{5x^{5}}{6y^4}}$

b) Calcular $\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x} \frac{\cancel{\mathrm{x}}\cdot y\cdot \cancel{\mathrm {a}}}{a^{\cancel{2}}\cdot b\cdot 2\cdot \cancel{\mathrm{x}}} \frac{y}{2ab}}$

Tenga en cuenta que cuando hacemos la multiplicación, podemos simplificar la fracción algebraica cancelando los factores iguales.

División de fracciones algebraicas

A división de fracciones algebraicas

es parecido a división de fracciones numéricas. Solo quédate con la primera fracción y multiplícala por el recíproco de la segunda fracción.

El recíproco de la segunda fracción se obtiene intercambiando el numerador y el denominador.

Ejemplos:

a) Calcular $\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y}}$ .

Manteniendo la primera fracción y multiplicando por el recíproco de la segunda, tenemos:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} }$

Entonces, solo tenemos que resolver esta multiplicación entre fracciones:

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} \frac{12xy}{8x^5y} \frac{3}{2x^4} }$

Por lo tanto, el resultado de la división es:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} \frac{3}{2x^4}}$

b) Calcular $\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1}}$ .

Manteniendo la primera fracción y multiplicando por el recíproco de la segunda, tenemos:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1} \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^ 2-1}{a^4} }$

Ahora, resolvemos la multiplicación entre fracciones:

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^2-1}{a^4} \frac{a\cdot (b^2-1)}{a ^4\cdot (b+1)} \frac{\cancel{\mathrm{a}}\cdot (b-1)\cdot \cancel{(\mathrm{b+1})}}{a^{\cancel{4}}\cdot \cancel{ (\mathrm{b+1})}} \frac{b-1}{a^3}}$

Para simplificar, en la segunda igualdad, usamos el factorizar la diferencia de dos cuadrados.

Por lo tanto, el resultado de la división es:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1} \frac{b-1}{a^3}}$

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