Funciones trigonométricas de doble arco

en el estudio de funciones trigonométricas, a menudo hay problemas relacionados con arcos dobles. Por lo tanto, conocer las fórmulas específicas de los seno, coseno Es tangente este tipo de arco es fundamental para simplificar muchos cálculos.

Considere cualquier arco de medida $\dpi{120} \alfa$ , el doble arco es el arco de medida $\dpi{120} 2\alfa$ . De esta manera, queremos obtener fórmulas de seno de $\dpi{120} 2\alfa$ , coseno de $\dpi{120} 2\alfa$ y tangente de $\dpi{120} 2\alfa$ .

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Estas fórmulas se pueden obtener de la fórmulas de suma de dos arcos:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Recuerda el uso de estas fórmulas de un ejemplo donde obtenemos el seno de 75° del seno y el coseno de ángulos notables 30° y 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sen\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\ppp{120} 0,96$

Ahora, veamos cómo las fórmulas de la funciones trigonométricas de doble arco.

Funciones trigonométricas de arcos dobles

Dado un arco de medida $\dpi{120} \alfa$ , el doble arco es el arco de medida $\dpi{120} 2\alfa$ . Una vez que $\dpi{120} 2\alfa \alfa + \alfa$ , podemos usar las fórmulas para sumar dos arcos para obtener las fórmulas para el doble arco.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Por lo tanto, la seno de doble arco se obtiene mediante la siguiente fórmula:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Ahora, mira que:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sen^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Por lo tanto, la arco coseno doble se obtiene mediante la siguiente fórmula:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

En cuanto a la tangente, tenemos:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alfa}}}$

$\dpi{120} \mathbf{ \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}$

Por lo tanto, la tangente de doble arco se obtiene mediante la siguiente fórmula:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha}) \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}$

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