Factorización de expresiones algebraicas

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expresiones algebraicas son expresiones que muestran números y variables, y hacen que la factorización de expresiones algebraicas significa escribir la expresión como una multiplicación de dos o más términos.

Factorizar expresiones algebraicas puede facilitar muchos cálculos algebraicos, porque cuando factorizamos, podemos simplificar la expresión. Pero como factorizar expresiones algebraicas?

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Para factorizar expresiones algebraicas utilizamos las técnicas que veremos a continuación.

factorización por evidencia

La factorización por evidencia consiste en resaltar un término común en la expresión algebraica.

Este término común puede ser solo un número, una variable o una multiplicación de los dos, es decir, es un monomio.

Ejemplo:

factorizar la expresión $\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2}$ .

Nótese que en ambos términos de esta expresión aparece la variable $\dpi{120} \mathrm{x}$ , así que pongámoslo en evidencia:

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$\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2 x\cdot (3y-2x)}$

Factorización por agrupación

En factorización poragrupamiento, agrupamos los términos que tienen un factor en común. Luego traemos el factor común al frente.

Por lo tanto, el factor común es un polinomio y ya no es un monomio, como en el caso anterior.

Ejemplo:

factorizar la expresión $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y}$ .

Nótese que la expresión está formada por la suma de varios términos y que, en algunos términos, aparece $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ y en otros aparece $\dpi{120} \mathrm{y}$ .

Reescribamos la expresión, agrupando estos términos:

$\dpi{120} \mathrm{ax^2 + 5x^2 - 10y - 2ay}$

Pongamos las variables $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ Es $\dpi{120} \mathrm{y}$ En evidencia:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-y (2a+10)}$

Ahora, vea que el término $\dpi{120} \mathrm{y (2y + 10)}$ se puede reescribir como $\dpi{120} \mathrm{y (2a + 2\cdot 5)}$ , de donde también podemos poner en evidencia el número 2:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-2y (a+5)}$

como el polinomio $\dpi{120} \mathrm{(a+5)}$ aparece en ambos términos, podemos ponerlo en evidencia una vez más:

$\dpi{120} \mathrm{(a+5)\cdot (x^2-2y)}$

Por lo tanto, $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y (a+5)\cdot (x^2 - 2y)}$ .

Factorizar la diferencia de dos cuadrados

Si la expresión es una diferencia de dos cuadrados, se puede escribir como el producto de la suma de las bases y la diferencia de las bases. Es uno de productos notables:

$\dpi{120} \mathrm{(a^2 - b^2) (a +b)\cdot (a-b)}$

Ejemplo:

factorizar la expresión $\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2}$ .

Tenga en cuenta que esta expresión se puede reescribir como $\dpi{120} \mathrm{9^2 - (2x)^2}$ , es decir, es una diferencia de dos términos cuadrados, cuyas bases son 9 y 2x.

Así que escribamos la expresión como el producto de la suma de las bases y la diferencia de las bases:

$\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2 (9+2x)\cdot (9-2x)}$

Factorizar el trinomio cuadrado perfecto

Al factorizar el trinomio cuadrado perfecto, también usamos los productos notables y escribimos la expresión como el cuadrado de la suma o el cuadrado de la diferencia entre dos términos:

$\dpi{120} \mathrm{a^2 + 2ab+b^2 (a + b)\cdot (a+b) (a+b)^2}$

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 2ab+b^2 (a - b)\cdot (a-b) (a-b)^2}$

Ejemplo:

factorizar la expresión $\dpi{120} \mathrm{x^2 + 22y + 121}$ .

Tenga en cuenta que la expresión es un trinomio cuadrado perfecto, como $\dpi{120} \mathrm{\sqrt{x^2} x}$ , $\dpi{120} \sqrt{121}11$ Es $\dpi{120} \mathrm{2\cdot x\cdot 11 22y}$ .