Ejercicios de coeficientes y concavidad de la parábola

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O gráfica de una función de segundo grado, f (x) = ax² + bx + c, es una parábola y los coeficientes El, B Es w están relacionados con características importantes de la parábola, como la concavidad.

además, el coordenadas del vértice de una parábola se calculan a partir de fórmulas que involucran los coeficientes y el valor de la discriminante delta.

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A su vez, el discriminante también es función de los coeficientes y a partir de él podemos identificar si la función de segundo grado tiene o no raíces y cuáles son, si las tiene.

Como puede ver, a partir de los coeficientes podemos comprender mejor la forma de una parábola. Para entender más, vea un lista de ejercicios resueltos sobre la concavidad de la parábola y los coeficientes de la función de 2º grado.

Lista de ejercicios sobre coeficientes y concavidad de la parábola

Pregunta 1. Determine los coeficientes de cada una de las siguientes funciones de segundo grado y establezca la concavidad de la parábola.

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a) f(x) = 8x² – 4x + 1

b) f(x) = 2x² + 3x + 5

c) f(x) = 4x² – 5

e) f(x) = -5x²

f) f (x) = x² – 1

Pregunta 2. A partir de los coeficientes de las siguientes funciones cuadráticas, determine el punto de intersección de las parábolas con el eje de ordenadas:

a) f(x) = x² – 2x + 3

b) f(x) = -2x² + 5x

c) f(x) = -x² + 2

d) f(x) = 0,5x² + 3x – 1

Pregunta 3. Calcular el valor del discriminante $\dpi{120} \bg_blanco \Delta$ e identifica si las parábolas intersecan el eje de las abscisas.

a) y = -3x² – 2x + 5

b) y = 8x² – 2x + 2

c) y = 4x² – 4x + 1

Pregunta 4. Determine la concavidad y el vértice de cada una de las siguientes parábolas:

a) y = x² + 2x + 1

b) y = x² – 1

c) y = -0.8x² -x + 1

Pregunta 5. Determina la concavidad de la parábola, el vértice, los puntos de intersección con los ejes y grafica la siguiente función cuadrática:

f(x) = 2x² – 4x + 2

Resolución de la pregunta 1

a) f(x) = 8x² – 4x + 1

Coeficientes: a = 8, b = -4 y c = 1

Concavidad: hacia arriba, ya que a > 0.

b) f(x) = 2x² + 3x + 5

Coeficientes: a = 2, b = 3 y c = 5

Concavidad: hacia arriba, ya que a > 0.

c) f(x) = -4x² – 5

Coeficientes: a = -4, b = 0 y c = -5

Concavidad: hacia abajo, porque a < 0.

e) f(x) = -5x²

Coeficientes: a = -5, b = 0 y c = 0

Concavidad: hacia abajo, porque a < 0.

f) f (x) = x² – 1

Coeficientes: a = 1, b = 0 y c = -1

Concavidad: hacia arriba, ya que a > 0.

Resolución de la pregunta 2

a) f(x) = x² – 2x + 3

Coeficientes: a= 1, b = -2 y c = 3

El punto de intersección con el eje y está dado por f (0). Este punto corresponde exactamente al coeficiente c de la función cuadrática.

Punto de intersección = c = 3

b) f(x) = -2x² + 5x

Coeficientes: a= -2, b = 5 y c = 0

Punto de intersección = c = 0

c) f(x) = -x² + 2

Coeficientes: a= -1, b = 0 y c = 2

Punto de intersección = c = 2

d) f(x) = 0,5x² + 3x – 1

Coeficientes: a= 0,5, b = 3 y c = -1

Punto de intersección = c = -1

Resolución de la pregunta 3

a) y = -3x² – 2x + 5

Coeficientes: a = -3, b = -2 y c = 5

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. El. c (-2)^2 - 4.(-3).5 64$

Dado que el discriminante es un valor mayor que 0, entonces la parábola corta el eje x en dos puntos diferentes.

b) y = 8x² – 2x + 2

Coeficientes: a = 8, b = -2 y c = 2

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. El. c (-2)^2 - 4.8.2 -60$

Dado que el discriminante es un valor menor que 0, entonces la parábola no corta el eje x.

c) y = 4x² – 4x + 1

Coeficientes: a = 4, b = -4 y c = 1

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta b^2 - 4. El. c (-4)^2 - 4.4.1 0$

Dado que el discriminante es igual a 0, entonces la parábola corta el eje x en un solo punto.

Resolución de la pregunta 4

a) y = x² + 2x + 1

Coeficientes: a= 1, b = 2 y c= 1

Concavidad: arriba, porque a > 0

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta 2^2 - 4. 1. 1 4 - 4 0$

Vértice:

$\dpi{100} \grande \bg_blanco x_v \frac{-b}{2a} \frac{-2}{2} -1$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} 0$

V(-1.0)

b) y = x² – 1

Coeficientes: a= 1, b = 0 y c= -1

Concavidad: arriba, porque a > 0

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta 0^2 - 4. 1. (-1) 4$

Vértice:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} 0$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} \frac{-4}{4} -1$

V(0,-1)

c) y = -0.8x² -x + 1

Coeficientes: a= -0.8, b = -1 y c= 1

Concavidad: abajo, porque a < 0

Discriminante:

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta (-1)^2 - 4. (-0,8). 1 4,2$

Vértice:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a} \frac{1}{-1.6} -0.63$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} \frac{-4.2}{-3.2} 1.31$

V(-0,63; 1,31)

Resolución de la pregunta 5

f(x) = 2x² – 4x + 2

Coeficientes: a = 2, b = -4 y c = 2

Concavidad: arriba, porque a > 0

Vértice:

$\dpi{100} \large \bg_white x_v \frac{-b}{2a}\frac{4}{4} 1$

$\dpi{100} \large \bg_white \Delta (-4)^2 -4. 2. 2 0$

$\dpi{100} \large \bg_white y_v \frac{-\Delta }{4a} 0$

V(1.0)

Intersección con el eje y:

c = 2 ⇒ punto (0, 2)

Intersección con el eje x:

Como $\dpi{120} \bg_blanco \Delta 0$ , entonces la parábola corta el eje x en un solo punto. Este punto corresponde a las raíces (iguales) de la ecuación 2x² – 4x + 2, que se puede determinar por fórmula de bhaskara: