O suurim ühine jagaja(MDC) kahe või enama vahel täisarvud vastab suurimale jagaja ühine, mis nende vahel eksisteerib. Vahel polünoomid, MDC-l on sama idee.
Seega, et mõista, kuidas arvutada polünoomide vahelist GCD-d, on oluline teada, kuidas arvutada täisarvude GCD-d.
näe rohkem
Rio de Janeiro õpilased võistlevad olümpiamängudel medalite nimel…
Matemaatikainstituut on avatud olümpiaadidele registreerimiseks…
Praktilisel viisil saab MDC-d saada tootena peamised tegurid ühised, mis esinevad numbrite vahel.
Näide: Arvutage GCD vahemikus 16 kuni 24.
Lagundamine põhiteguriteks:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
GCD vahemikus 16 kuni 24 on nende kahe arvu ühiste tegurite korrutis, st
GCD(16; 24) = 2. 2. 2 = 8.
Nüüd vaatame kuidas leida polünoomide GCD-d. Alustame kõige lihtsama juhtumiga, polünoomidega, mis on moodustatud ühest liikmest: the monomiaalid.
Vaatame mõningaid näiteid, kuidas arvutada kahe või enama monoomi vaheline GCD.
Näide 1: MDC vahemikus 6x kuni 15x.
Algteguriteks jagades saame:
6 = 2. 3 ja 15 = 3. 5
Seetõttu saame iga monomi kirjutada järgmiselt:
6x = 2. 3. x
15x = 3. 5. x
Seetõttu on MDC 3x.
Näide 2: MDC vahemikus 18x²y kuni 30xy.
Algteguriteks jagades saame:
18 = 2. 3. 3 ja 30 = 2. 3. 5
Seetõttu saame iga monomi kirjutada järgmiselt:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. x. x. y
30xy = 2. 3. 5. x. y
2. 3. x. y = 6x
Niisiis, MDC on 6xy.
Polünoomide GCD leidmiseks kontrollime esmalt, kas on võimalik neid kõiki tegureerida. Selleks kasutame tehnikaid polünoomiline faktoriseerimine.
Näide 1: GCD vahemikus (x² – y²) ja (2x – 2y).
Pange tähele, et esimene polünoom vastab kahe ruudu erinevusele. Seega saame seda arvutada järgmiselt:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Juba teises polünoomis võime tõendiks kirjutada ühise teguri 2:
2x – 2a = 2.(x – y)
Sel viisil on meil:
x² – y² = (x – y).(x + y)
2x – 2a = 2.(x – y)
Seega on polünoomide vaheline GCD (x – y).
Näide 2: GCD vahemikus (x³ + 27) ja (x² + 6x + 9).
Esimene polünoom vastab kahe kuubi vahelisele summale, vt:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3). (x² – 3x + 9)
Ja teine polünoom, ruudus kahe liikme summaga:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3). (x + 3)
Niisiis, me peame:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Seetõttu on polünoomide vaheline GCD (x + 3).
Näide 3: GCD vahemikus (2x² – 32) kuni (x³ + 12x² + 48x + 64).
Siin on esimene polünoom kahe ruudu erinevus:
2x² – 32 = 2. (x² – 16) = 2. (x² – 4²) = 2. (x – 4). (x + 4)
Samal ajal on teine polünoom kahe liikme summa kuup:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4). (x + 4). (x + 4)
Niisiis, me peame:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Seetõttu on polünoomide vaheline GCD (x + 4).
Segadus mõistete MDC ja MMC (vähim ühiskordne). Kui GCD vastab kõrgeimale ühisjagajale, siis MMC on antud madalaima ühiskordajaga.
MMC on murdvõrrandite lahendamisel väga kasulik tööriist, kuna üldiselt on fraktsioonid nad ei ole samad.
Sellistes olukordades eraldame nimetajate vahel MMC ja kirjutame sealt edasi samaväärsed murded sama nimetajaga.
Nimetajad ei ole aga alati teadaolevad arvud, need võivad olla algebralised avaldised või polünoomid. Seetõttu on tavaline, et tuleb arvutada polünoom MMC.
Sel ajal on oluline mitte segadusse ajada ja tahta leidke võrrandi GCD, kui tuleb arvutada võrrandi MMC.
Samuti võite olla huvitatud: