Loendamise aluspõhimõte

loendamise aluspõhimõte (PFC) on üks arvude loendamise meetodeid kombinatoorne analüüs. See põhimõte võimaldab meil arvutada võimalike kombinatsioonide arvu elementidega, mida saab erineval viisil saada.

PFC on lihtne, kuid väga kasulik meetod, mida kasutatakse laialdaselt tõenäosusprobleemides, võimalike sündmuste arvu määramisel.

loendamise aluspõhimõte

PFC kohta lisateabe saamiseks kasutame mõnda näidet.

Näide 1

Majast loomaaeda minekuks peab Júlio sõitma bussiga, mis viib ta jaama, ja jaamas teise bussiga.

Oletame, et on kolm bussiliini, mis viivad teid jaama, liinid A1, A2 ja A3, ja kaks liini, mis viivad teid jaamast loomaaeda, liinid B1 ja B2. Allolev diagramm illustreerib seda olukorda:

Júlio saab oma majast loomaaeda minna nii palju kui võimalik, kombineerides olemasolevaid bussiliine.

Illustratsioonilt näeme, et kokku on 6 võimalust. Selle tulemuse saame aga avastada ka ilma illustratsioonita.

PFC abil korrutame võimalike ridade arvu tee esimeses osas võimalike ridade arvuga teises osas:

• Kodust jaama: liinid A1, A2 ja A3 → 3 erinevad viisid;
• Jaamast loomaaeda: Liinid B1 ja B2 → 2 erinevad viisid;

Näide 2

Restoranis saab klient valida 4 eelroa, 5 pearoa ja 3 magustoidu variandi vahel. Mitmel võimalikul viisil saab klient selles restoranis valida eel-, pea- ja magustoidu?

• Keelatud: 4 valikuvõimalused;
• Põhiroog: 5valikuvõimalused;
• Magustoit: 3 valikuid.

PFC abil korrutage need kolm kogust:

Seetõttu on selles restoranis 60 võimalikku kombinatsiooni, mille vahel klient saab valida eelroa, pearoa ja magustoiduga.

Näide 3

Kui palju erinevaid sõnu saab sõna KOOL tähtede järjekorda muutes moodustada?

Vaata, et sõna kool tähed ei korduks, need on kõik erinevad. Siis ei saa moodustatud sõnades olla ka korduvaid tähti.

Arvestades 6 võimalikku tähtede positsiooni sõnas, on meil:

• 1. positsioon: 6 kirjad saadaval;
• 2. positsioon: 5 kirjad saadaval;
• 3. positsioon: 4 kirjad saadaval;
• 4. positsioon: 3 kirjad saadaval;
• 5. positsioon: 2 kirjad saadaval;
• 6. koht: 1 kiri saadaval.

PFC-ga korrutage need kogused:

Vaata, kui oluline on PFC! Ilma selleta peaksime kõik võimalikud sõnad üles kirjutama ja need kokku lugema, et jõuda arvuni 720.

Nimetatakse sõnu, mis on moodustatud teise tähtedest anagrammid.

Tõenäosus

PFC-l on probleemide lahendamisel palju rakendust tõenäosus. Seda põhimõtet kasutatakse katse võimalike sündmuste arvu määramiseks.

Näide:

Kolm korda järjest visatakse täringut ja kontrollitakse saadud nägu. Kui suur on tõenäosus, et esimesel viskel on paaris nägu, teisel paaritu nägu ja kolmandal viskel on nägu suurem kui 4?

Soodsad juhtumid:

• 1. käivitamine: 3 võimalused (näod 2, 4 ja 6);
• 2. väljalase: 3 võimalused (näod 1, 3 ja 5);
• 3. käivitamine: 2 võimalused (nägu 5 ja 6).

PFC abil soodsate juhtumite arvu saamiseks korrutage kogused:

Võimalikud juhtumid:

• 1. käivitamine: 6 võimalused (näod 1, 2, 3, 4, 5 ja 6);
• 2. väljalase: 6 võimalused (näod 1, 2, 3, 4, 5 ja 6);
• 3. käivitamine: 6 võimalused (näod 1, 2, 3, 4, 5 ja 6).

PFC abil saame ka võimalike juhtumite arvu:

Seega saame arvutada soovitud tõenäosuse:

Seetõttu on võimalus, et esimesel viskel on paaritu nägu ja teisel viskel paaritu nägu ja nägu, mis on suurem kui 4 kolmandal viskel, on üks kaheteistkümnest, mis võrdub ligikaudu 0,083 või 8,3%.

Kombinatoorne analüüs

PFC-st saadakse muud elementide loendamise tehnikad: permutatsioon, paigutus ja kombineerimine.

Permutatsioon

Võimaldab arvutada võimaluste arvu korraldada kokku n elementi, muutes elementide asukohti omavahel.

Kokkulepe

Võimaldab arvutada võimaluste arvu korraldada n elementi suurusega p rühmadesse, kui elementide järjekord on oluline iga rühma sees.

Kombinatsioon

See võimaldab arvutada n elemendi korraldamise võimaluste arvu p suurusega rühmadesse, kui elementide järjekord ei on igas rühmas oluline.

Samuti võite olla huvitatud:

• tingimuslik tõenäosus
• Statistika
• Andmete rühmitamine vahemikeks
• Dispersioonimeetmed
• Keskmine, režiim ja mediaan