Algebralise avaldise faktoriseerimine

algebralised avaldised on avaldised, mis kuvavad numbreid ja muutujaid ning muudavad algebralise avaldise faktoriseerimine tähendab avaldise kirjutamist kahe või enama liikme korrutisena.

Algebraavaldiste faktoriseerimine võib paljusid algebralisi arvutusi lihtsamaks muuta, sest faktorite tegemisel saame avaldist lihtsustada. Aga kuidas arvutada algebralisi avaldisi?

näe rohkem

Rio de Janeiro õpilased võistlevad olümpiamängudel medalite nimel…

Matemaatikainstituut on avatud olümpiaadidele registreerimiseks…

Algebraliste avaldiste arvestamiseks kasutame tehnikaid, mida näeme järgmisena.

faktooring tõendite alusel

Tõenduspõhine faktoring seisneb algebralises avaldises levinud termini esiletõstmises.

See tavaline termin võib olla lihtsalt arv, muutuja või nende kahe korrutis, see tähendab, et see on a monomiaalne.

Näide:

tegur väljendit $\dpi{120} \mathrm{3xy – 2x^2}$ .

Pange tähele, et muutuja ilmub selle avaldise mõlemas osas $\dpi{120} \mathrm{x}$ , siis paneme selle tõendiks:

$\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2 x\cdot (3a-2x)}$

Faktooring rühmitamise teel

Kell faktooringu pooltrühmitamine, rühmitame terminid, millel on ühine tegur. Seejärel tõstame esiplaanile ühisteguri.

Seega on ühine tegur a polünoom ja mitte enam monoom, nagu eelmisel juhul.

Näide:

tegur väljendit $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y}$ .

Pange tähele, et avaldis on moodustatud mitme termini summast ja mõnes terminis see ilmub $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ ja teistel see ilmneb $\dpi{120} \mathrm{y}$ .

Kirjutame avaldise ümber, rühmitades need terminid kokku:

$\dpi{120} \mathrm{ax^2 + 5x^2 - 10a - 2ay}$

Paneme muutujad $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ see on $\dpi{120} \mathrm{y}$ tõenditena:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-y (2a+10)}$

Vaadake nüüd seda terminit $\dpi{120} \mathrm{y (2 a + 10)}$ saab ümber kirjutada kui $\dpi{120} \mathrm{y (2a + 2\cdot 5)}$ , millest saame tõendiks panna ka numbri 2:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-2y (a+5)}$

nagu polünoom $\dpi{120} \mathrm{(a+5)}$ esineb mõlemas terminis, võime selle veel kord tõendiks panna:

$\dpi{120} \mathrm{(a+5)\cdot (x^2-2y)}$

Seetõttu $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y (a+5)\cdot (x^2 - 2y)}$ .

Kahe ruudu vahe faktoriseerimine

Kui avaldis on kahe ruudu erinevus, võib selle kirjutada aluste summa ja aluste erinevuse korrutisena. See on üks tähelepanuväärsed tooted:

$\dpi{120} \mathrm{(a^2 - b^2) (a +b)\cdot (a-b)}$

Näide:

tegur väljendit $\dpi{120} \mathrm{81 – 4x^2}$ .

Pange tähele, et selle avaldise saab ümber kirjutada kujul $\dpi{120} \mathrm{9^2 – (2x)^2}$ st see on kahe ruutliikme erinevus, mille alused on 9 ja 2x.

Kirjutame siis avaldise aluste summa ja aluste erinevuse korrutisena:

$\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2 (9+2x)\cdot (9-2x)}$

Täiusliku ruudu trinoomi arvutamine

Täiusliku ruutkolminoomi faktooreerimiseks kasutame ka märkimisväärseid korrutisi ja kirjutame avaldise kahe termini vahelise summa või ruudu ruuduna:

$\dpi{120} \mathrm{a^2 + 2ab+b^2 (a + b)\cdot (a+b) (a+b)^2}$

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 2ab+b^2 (a - b)\cdot (a-b) (a-b)^2}$

Näide:

tegur väljendit $\dpi{120} \mathrm{x^2 + 22 a + 121}$ .

Pange tähele, et avaldis on täiuslik ruuttrinoom, as $\dpi{120} \mathrm{\sqrt{x^2} x}$ , $\dpi{120} \sqrt{121}11$ see on $\dpi{120} \mathrm{2\cdot x\cdot 11 22y}$ .