Summa- ja vahekuubik

Summa- ja vahekuubik on kahte tüüpi tähelepanuväärsed tooted, kus kaks liiget liidetakse või lahutatakse ja seejärel kuubitakse, st astendajaga 3.

(x + y) ³ -> summa kuup

(x – y) ³ -> erinevuse kuubik

Summakuubi saab kirjutada ka kujul (x+y). (x+y). (x + y) ja erinevuse kuubik as (x – y). (x – y). (x – y).

Neid tooteid nimetatakse nende tähtsuse tõttu märkimisväärseteks toodeteks, kuna need esinevad sageli algebralistes arvutustes.

Pidage meeles, et matemaatikas saab sama avaldise kirjutada muul viisil, kuid ilma selle väärtust muutmata. Näiteks saab x + 1 + 1 kirjutada lihtsalt kui x + 2.

Sageli saame avaldise ümberkirjutamisel lihtsustada ja lahendada paljusid algebralisi ülesandeid. Seetõttu vaatame teist viisi summa ja vahe kuubi kirjutamiseks, arendades neid algebraliselt.

summa kuup

O summa kuup on tähelepanuväärne korrutis (x + y) ³, mis on sama, mis (x + y). (x+y). (x+y). Sel viisil saame kirjutada:

(x + y) ³ = (x + y). (x+y). (x + y)

Arvestades nüüd seda (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², summa kuubi saab kirjutada järgmiselt:

(x + y) ³ = (x + y). (x² + 2xy + y²)

Polünoomi korrutamine (x + y) (x² + 2xy + y²) abil näeme, et:

(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³

Lisades sarnased terminid, saame, et summa kuup saadakse järgmiselt:

(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Näide:

Arendage iga kuubik algebraliselt:

a) (x + 5)²

(x + 5)² = (x) ³ + 3. (x) ². (5) + 3. (x). (5)² + (5)³

= x³ + 3,x², 5 + 3,x25 + 125

= x³ +15x² +75x + 125

b) (1 + 2b) ³

(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3. (1)². (2b) + 3. (1). (2b) ² + (2b) ³

 = 1 + 3,1,2b + 3,1,4b² + 8b³

= 1 + 6b + 12b² + 8b³

erinevuse kuubik

O erinevuse kuubik on tähelepanuväärne korrutis (x – y) ³, mis on sama mis (x – y). (x – y). (x – y). Niisiis, me peame:

(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x – y)

Meeldib (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², erinevuse kuubi saab kirjutada järgmiselt:

(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)

Korrutades (x – y) väärtusega (x² – 2xy + y²), näeme, et:

(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³

Sarnaste terminite lisamisel saame erinevuse kuubi:

(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³

Näide:

Arendage iga kuubik algebraliselt:

a) (x – 2)³

(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³

= x³ – 3,x², 2 + 3,x, 4 – 8

= x³ – 6x² + 12x – 8

b) (2a – b) ³

(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³

= 8a³ – 3,4a².b + 3,2a.b² – b³

= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³

Samuti võite olla huvitatud:

• Algebralise avaldise faktoriseerimine
• Algebraline arvutus monomialidega
• algebralised murrud