O suurin yhteinen jakaja(MDC) kahden tai useamman välillä kokonaislukuja vastaa suurinta jakaja yhteistä, joka on heidän välillään. Välissä polynomit, MDC: llä on sama idea.
Siksi, jotta ymmärrät kuinka laskea GCD polynomien välillä, on tärkeää tietää kuinka laskea kokonaislukujen GCD.
Katso lisää
Rio de Janeiron opiskelijat kilpailevat mitaleista olympialaisissa…
Matematiikan instituutti on avoinna ilmoittautumista varten olympialaisiin…
Käytännössä MDC voidaan saada tuotteena päätekijät yhteisiä, jotka esiintyvät numeroiden välillä.
Esimerkki: Laske GCD välillä 16 ja 24.
Hajoaminen päätekijöihin:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
GCD välillä 16 ja 24 on näiden kahden luvun yhteisten tekijöiden tulo, eli
GCD(16; 24) = 2. 2. 2 = 8.
Katsotaan nyt kuinka löytää polynomien GCD. Aloitamme yksinkertaisimmalla tapauksella, jossa polynomit muodostuvat yhdestä termistä: the monomiaalit.
Katsotaanpa joitain esimerkkejä siitä, kuinka GCD lasketaan kahden tai useamman monomin välillä.
Esimerkki 1: MDC 6x ja 15x välillä.
Ensisijaisiin tekijöihin hajotettuna meillä on:
6 = 2. 3 ja 15 = 3. 5
Siksi voimme kirjoittaa jokaisen monomiaalin seuraavasti:
6x = 2. 3. x
15x = 3. 5. x
Siksi MDC on 3x.
Esimerkki 2: MDC 18x²y ja 30xy välillä.
Ensisijaisiin tekijöihin hajotettuna meillä on:
18 = 2. 3. 3 ja 30 = 2. 3. 5
Siksi voimme kirjoittaa jokaisen monomiaalin seuraavasti:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. x. x. y
30xy = 2. 3. 5. x. y
2. 3. x. y = 6x
Joten, MDC on 6xy.
Löytääksemme polynomien GCD: n, tarkistamme ensin, onko mahdollista ottaa jokainen niistä huomioon. Tätä varten käytämme tekniikoita polynomifaktorointi.
Esimerkki 1: GCD välillä (x² – y²) ja (2x – 2y).
Huomaa, että ensimmäinen polynomi vastaa kahden neliön erotusta. Voimme siis laskea sen seuraavasti:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Jo toiseen polynomiin voimme kirjoittaa todisteeksi yhteisen tekijän 2:
2x – 2y = 2.(x – y)
Tällä tavalla meillä on:
x² – y² = (x – y).(x + y)
2x – 2v = 2.(x – y)
Joten, GCD polynomien välillä on (x – y).
Esimerkki 2: GCD välillä (x³ + 27) ja (x² + 6x + 9).
Ensimmäinen polynomi vastaa kahden kuution välistä summaa, katso:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
Ja toinen polynomi, neliöitynä kahden termin summalle:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Joten meidän on:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Siksi polynomien välinen GCD on (x + 3).
Esimerkki 3: GCD välillä (2x² – 32) ja (x³ + 12x² + 48x + 64).
Tässä ensimmäinen polynomi on kahden neliön välinen ero:
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
Samaan aikaan toinen polynomi on kahden termin summan kuutio:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Joten meidän on:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Siksi polynomien välinen GCD on (x + 4).
Sekaannusta käsitteiden MDC ja MMC (pienin yhteinen moninkertainen). Vaikka GCD kuitenkin vastaa suurinta yhteistä jakajaa, MMC on annettu pienimmällä yhteisellä kerrannaisella.
MMC on erittäin hyödyllinen työkalu murtoyhtälöiden ratkaisemisessa, koska yleisesti ottaen murto-osia ne eivät ole samat.
Näissä tilanteissa teemme niin, että poimimme MMC: n nimittäjien välistä ja kirjoitamme sieltä vastaavat murtoluvut samasta nimittäjästä.
Nimittäjät eivät kuitenkaan aina ole tunnettuja lukuja, ne voivat olla algebrallisia lausekkeita tai polynomeja. Siksi on tavallista laskea polynomi MMC.
Tällä hetkellä on tärkeää olla sekoittamatta ja haluta etsi yhtälön GCD, kun laskettava on yhtälön MMC.
Saatat myös olla kiinnostunut:
