On joitain tekniikoita polynomifaktorointi joiden avulla voimme kirjoittaa ne kahden tai useamman polynomin kertolaskuna.
Jos haluat oppia korostamaan termiä, ryhmittele, kirjoita täydellinen neliötrinomi ja monia muita tyyppejä merkittäviä tuotteita, katso yksi lista ratkaistuista laskutusharjoituksista joita valmistamme.
Katso lisää
Rio de Janeiron opiskelijat kilpailevat mitaleista olympialaisissa…
Matematiikan instituutti on avoinna ilmoittautumista varten olympialaisiin…
Kysymys 1. Kirjoittamalla yhteinen tekijä todisteeksi, kerro polynomit:
a) 15x + 15v
b) x² + 9xy
c) ab – a³b³
d) a²z + abz
Kysymys 2. Kerro jokainen polynomi:
a) x² – xy – x
b) 24x³ – 8x² – 56x³
c) a.(x + y) – b.(x + y)
d) b.(a – x) – c.(a – x)
Kysymys 3. Kertoi seuraavat polynomit käyttämällä klusterointi- ja yhteisen todistustekijän tekniikoita:
a) a² + ab + ax + bx
b) bx² – 2by + 5x² – 10v
c) 2an + n -2am - m
d) ax – bx + cx + ay – by + cy
Kysymys 4. Alla olevat polynomit näyttävät kahden neliön erot. Kirjoita jokainen niistä tekijämuotoisessa muodossa.
a) a² – 64
b) (x – 4)² – 16
c) (y + 1)² – 25
d) x² – (x + y)²
Kysymys 5. Kerro seuraava polynomi kirjoittamalla kertolaskuna:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
Kysymys 6. Tarkista, että jokainen alla olevista trinomeista edustaa täydellistä neliötrinomia, ja tee sitten tekijöiden laskenta.
a) a² – 10ab + 25b²
b) x² – 8x + 25
c) 9x² – 6x + 1
d) 16a² + 24ab + 9b²
Kysymys 7. Täydennä alla oleva polynomi niin, että se on täydellinen neliötrinomi.
x² + 4x
Kysymys 8. Käytä factoring-tekniikoita, etsi yhtälöiden juuret:
a) x² – 9x = 0
b) x² – 64 = 0
c) y² – y = 0
d) x² – 1 = 0
a) 15x + 15y = 15.(x + y)
b) x² + 9xy = x.(x + 9y)
c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
d) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y -1)
b) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x². (3x – 1 – 7x)
c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
d) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
b) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2v.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2v)
c) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1). (n – m)
d) ax – bx + cx + ay – + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
b) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4). (x – 4 – 4) = x. (x – 8)
c) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) - 5) = (y + 1 + 5). (y + 1 - 5) = (y + 6). (y - 4)
d) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a – b + 2 + a – b – 2). (a – b + 2 – a + b + 2) =
(2a - 2b). (4) =
4.(2a–2b)
a) a² – 10ab + 25b²
Ensin otamme neliöjuuren neliöstämme termeistä:
√a² = The
√25b² = 5b
Kuten 2. The. 5b = 10ab → trinomin jäljellä oleva termi. Joten polynomi on täydellinen neliötrinomi.
Kerrotaan: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
b) x² – 8x + 25
√x² = x
√25 = 5
2. x. 5 = 10x → ei vastaa jäljellä olevaa termiä, joka on 8x. Joten polynomi ei ole täydellinen neliötrinomi.
c) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → trinomin jäljellä oleva termi. Joten polynomi on täydellinen neliötrinomi.
Kerrotaan: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
d) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4
√9b² = 3b
2. 4. 3b = 24ab → trinomin jäljellä oleva termi. Joten polynomi on täydellinen neliötrinomi.
Kerrotaan: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
Meidän on kirjoitettava täydellinen neliötrinomi seuraavasti: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Joten meidän on löydettävä y: n arvo. Meillä on:
2xy = 4x
2v = 4
y = 4/2
y = 2
Siksi polynomiin on lisättävä termi y² = 2² = 4, jotta se olisi täydellinen neliötrinomi: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
a) x: n lisääminen todisteeksi:
x.(x – 9) = 0
Sitten x = 0 tai
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Juuret: 0 ja 9
b) Meillä on ero kahden neliön välillä:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8). (x – 8) = 0
Eli x + 8 = 0 tai x - 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Juuret: -8 ja 8.
c) Y: n esittäminen todisteeksi:
y.(y – 1) = 0
Joten y = 0 tai y - 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Juuret: 0 ja 1
d) Kun muistamme, että 1 = 1², meillä on ero kahden neliön välillä:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1). (x – 1) = 0
Joten x + 1 = 0 tai x - 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Juuret: – 1 ja 1.
Katso myös:
