O plus grand diviseur commun(MDC) entre deux ou plusieurs nombres entiers correspond au plus grand diviseur commun qui existe entre eux. Entre polynômes, le MDC a la même idée.
Ainsi, pour comprendre comment calculer le PGCD entre polynômes, il est important de savoir calculer le PGCD d'entiers.
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De manière pratique, le MDC peut être obtenu comme le produit du facteurs premiers communs qui existent entre les nombres.
Exemple: Calculer PGCD entre 16 et 24.
Décomposition en facteurs premiers :
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
Le PGCD entre 16 et 24 est le produit des facteurs communs aux deux nombres, c'est-à-dire
PGCD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.
Voyons maintenant comment trouver le PGCD des polynômes. Commençons par le cas le plus simple, avec des polynômes formés par un seul terme: le monômes.
Voyons quelques exemples de calcul du PGCD entre deux ou plusieurs monômes.
Exemple 1: MDC entre 6x et 15x.
En décomposant en facteurs premiers, on a :
6 = 2. 3 et 15 = 3. 5
On peut donc écrire chacun des monômes comme suit :
6x = 2. 3. X
15x = 3. 5. X
Par conséquent, le MDC est 3x.
Exemple 2 : MDC entre 18x²y et 30xy.
En décomposant en facteurs premiers, on a :
18 = 2. 3. 3 et 30 = 2. 3. 5
On peut donc écrire chacun des monômes comme suit :
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. X. X. y
30xy = 2. 3. 5. X. y
2. 3. X. y = 6x
Ainsi, le MDC est 6xy.
Pour trouver le PGCD des polynômes, nous vérifions d'abord s'il est possible de factoriser chacun d'eux. Pour cela, nous utilisons des techniques de factorisation polynomiale.
Exemple 1: PGCD entre (x² – y²) et (2x – 2y).
Notez que le premier polynôme correspond à une différence de deux carrés. Nous pouvons donc le factoriser de la manière suivante :
x² – y² = (x – y).(x + y)
Déjà dans le deuxième polynôme, nous pouvons écrire le facteur commun, 2, en évidence :
2x – 2y = 2.(x – y)
De cette façon, nous avons :
x² – y² = (x-y).(x + y)
2x – 2y = 2.(x-y)
Ainsi, le PGCD entre les polynômes est (x-y).
Exemple 2 : PGCD entre (x³ + 27) et (x² + 6x + 9).
Le premier polynôme correspond à une somme entre deux cubes, voir :
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)
Et le second polynôme, au carré de la somme de deux termes :
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)
Donc, nous devons :
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Par conséquent, le PGCD entre les polynômes est (x + 3).
Exemple 3 : PGCD entre (2x² – 32) et (x³ + 12x² + 48x + 64).
Ici, le premier polynôme est une différence entre deux carrés :
2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)
Pendant ce temps, le second polynôme est le cube de la somme de deux termes :
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Donc, nous devons :
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Par conséquent, le PGCD entre les polynômes est (x + 4).
Confusion entre les concepts de MDC et CMM (multiple moins commun). Cependant, alors que GCD correspond au diviseur commun le plus élevé, MMC est donné par le plus petit commun multiple.
MMC est un outil très utile pour résoudre des équations fractionnaires car, en général, les dénominateurs des fractions ce ne sont pas les mêmes.
Dans ces situations, ce que nous faisons est d'extraire le MMC entre les dénominateurs et à partir de là, écrivons fractions équivalentes du même dénominateur.
Cependant, les dénominateurs ne sont pas toujours des nombres connus, ils peuvent être des expressions algébriques ou des polynômes. Par conséquent, il est courant de devoir calculer le polynôme MMC.
À ce stade, il est important de ne pas confondre et de vouloir trouver le PGCD de l'équation, alors qu'il s'agit de calculer la MMC de l'équation.
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