Additionner et soustraire des fractions algébriques

UN addition et soustraction de fractions algébriques se fait de la même manière que l'addition et la soustraction de fractions numériques, la différence est que dans les fractions algébriques, nous traitons polynômes.

Lorsque les dénominateurs des fractions algébriques sont les mêmes, il suffit d'ajouter ou de soustraire les numérateurs et de conserver le dénominateur.

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Cependant, si les dénominateurs sont différents, il faut écrire fractions équivalentes avec des dénominateurs égaux pour ensuite faire l'addition ou la soustraction. Dans ce cas, calculez le CMM de polynômes.

Fractions algébriques de même dénominateur

Si les dénominateurs des fractions algébriques sont les mêmes, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur.

Exemples:

a) Calculer $\dpi{120} \mathrm{\frac{7x}{y^2}+\frac{3x}{y^2} }$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{7x}{y^2}+\frac{3x}{y^2} \frac{7x+3x}{y^2} \frac{10x}{y^2 } }$

b) Calculer $\dpi{120} \mathrm{\frac{9 + a}{b-1}-\frac{a-b}{b-1} }$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{9 + a}{b-1}-\frac{a-b}{b-1} \frac{9 + a - (a-b)}{b-1} \frac{ 9 -b}{b-1} }$

Fractions algébriques avec différents dénominateurs

Si les dénominateurs des fractions algébriques sont différents, nous calculons le PPCM des dénominateurs et écrivons des fractions équivalentes avec le même dénominateur.

Ensuite, nous calculons l'addition ou la soustraction comme dans le cas précédent, des dénominateurs égaux.

Exemples:

a) Calculer $\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x}}$ .

On factorise chacun des polynômes qui sont au dénominateur :

$\dpi{120} \mathrm{2y 2\cdot y}$

$\dpi{120} \mathrm{2x 2\cdot x}$

Le MMC est le produit entre les facteurs, mais sans répéter les mêmes facteurs :

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow MMC 2\cdot y\cdot x 2yx}$

Notez que nous ne répétons pas le nombre 2, qui apparaît dans la factorisation des deux polynômes.

En utilisant MMC, nous réécrivons les fractions équivalentes avec le même dénominateur :

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x} \frac{x^2}{2yx}+ \frac{y^2}{2yx}}$

Enfin, on calcule la somme des fractions algébriques qui ont déjà le même dénominateur :

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x} \frac{x^2+y^2}{2yx}}$

b) Calculer $\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3}}$ .

Pour trouver le MMC entre les polynômes qui sont dans le dénominateur, nous factorisons chacun d'eux.

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 9 a^2 - 3^2 (a-3)\cdot (a+3)}$ → factoriser la différence de deux carrés

$\dpi{120} \mathrm{a+ 3 a+3}$ → reste le même

Le MMC est le produit entre les facteurs, mais sans répéter les mêmes facteurs.

$\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow MMC (a+3)\cdot (a-3)}$

Notez que nous ne répétons pas (a + 3), qui apparaît dans la factorisation des deux polynômes.

En utilisant MMC, nous réécrivons les fractions équivalentes avec le même dénominateur :

$\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3} \frac{2a}{(a+3)\cdot (a-3)} -\frac{7.(a-3)}{(a+3)\cdot (a-3)}}$

Enfin, on calcule la somme des fractions algébriques qui ont déjà le même dénominateur :

$\dpi{120} \mathrm{\frac{2a}{a^2-9} - \frac{7}{a+3} \frac{2a - 7(a-3)}{(a+3)\ cdot (a-3)} \frac{2a-7a+21}{(a+3)\cdot (a-3)} \frac{-5a+21}{(a+3)\cdot (a-3 ) )} }$

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