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Signes d'une équation du 2ème degré

Un emploi du 2ème degré est une fonction quelconque de la forme f(x) = ax² + bx + c = 0, avec Le, B C'est w étant des nombres réels et Le différent de zéro.

étudier le signes d'une fonction du 2ème degré signifie dire pour quelles valeurs de X la fonction est positive, négative ou égale à zéro.

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De cette façon, nous devons identifier quelles sont les valeurs de x où nous avons:

f (x) > 0 → fonction positive

f (x) < 0 → fonction négative

f (x) = 0 → fonction nulle

Mais comment pouvons-nous savoir cela? L'une des façons d'étudier le signe d'une fonction du 2ème degré est à travers son graphique, qui est un parabole.

Signes d'une fonction du 2e degré à partir du graphique

Au plan cartesien, f (x) > 0 correspond à la partie de la parabole qui est au-dessus de l'axe des x, f (x) = 0 la partie de la parabole qui coupe l'axe des x et f (x) < 0, la partie de la parabole qui est en dessous de l'axe des x.

Il suffit donc d'esquisser la parabole pour identifier les signes de la fonction. Le croquis est fait simplement en sachant ce que concavité de la parabole et s'il coupe ou non l'axe des x, et si c'est le cas, à quels points il le fait.

Nous pouvons avoir six cas différents.

Cas 1) Signes d'une fonction du 2ème degré avec deux racines \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1} C'est \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2} distincte et concavité de la parabole tournée vers le haut.

Signes de fonction du 2ème degré

À partir du graphique, nous pouvons identifier que :

\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrice} \mathrm{f (x) 0, si\: \mathrm{x x_1} \: ou\: \mathrm{x x_2}} \\ \mathrm{f (x) 0, \: si\: x x_1 \: ou \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, \: si\: x_1 x x_2} {\color{Blanc} 0000} \end{matrice}\right.

Cas 2) Signes d'une fonction du 2ème degré avec deux racines \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1} C'est \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2} distincte et concavité de la parabole tournée vers le bas.

Signes d'une fonction du 2e degré

À partir du graphique, nous pouvons identifier que :

\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrice} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {\color{White} 0000} \\ \mathrm{f (x) 0, \: si\: x x_1 \: ou \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, si\: \mathrm{x x_1} \: ou \: \mathrm{x x_2 }} \end{matrice}\right.

Cas 3) Signes d'une fonction du 2ème degré avec deux racines \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1} C'est \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2} égale et concavité de la parabole vers le haut.

Signes d'une fonction du 2e degré

À partir du graphique, nous pouvons identifier que :

\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrice} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrice}\right.

Cas 4) Signes d'une fonction du 2ème degré avec deux racines \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1} C'est \dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2} égale et concavité de la parabole vers le bas.

Signes d'une fonction du 2e degré

À partir du graphique, nous pouvons identifier que :

\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrice} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrice}\right.

Cas 5) Signes d'une fonction du 2ème degré sans racines réelles et parabole concave vers le haut.Signes d'une fonction du 2e degré

Dans ce cas, on a f (x) > 0 pour tout x appartenant aux réels.

Cas 6) Signes d'une fonction du 2ème degré sans racines réelles et concavité de la parabole tournée vers le bas.

Signes d'une fonction du 2e degré

Dans ce cas, on a f (x) < 0 pour tout x appartenant aux réels.

Comment vérifier la concavité de la parabole

La concavité de la parabole peut être déterminée par la valeur du coefficient Le de la fonction du 2ème degré.

  • Si a > 0, alors la parabole est concave vers le haut ;
  • Si a < 0, alors la parabole est concave vers le bas.

Comment vérifier si la parabole coupe l'axe des x

Vérifier si la parabole coupe ou non l'axe des x signifie déterminer si la fonction a ou non des racines et, si oui, quelles sont-elles. Nous pouvons le déterminer en calculant le discriminant: \dpi{120} \bg_white \Delta b^2 - 4.a.c.

  • si \dpi{120} \bg_white \Delta > 0, la fonction a deux racines réelles différentes et la parabole coupe l'axe des x en deux points différents.
  • si \dpi{120} \bg_white \Delta = 0, la fonction a deux racines réelles égales, la parabole coupe l'axe des abscisses en un seul point.
  • si \dpi{120} \bg_white \Delta < 0, la fonction n'a pas de racines réelles et la parabole ne coupe pas l'axe des x, étant entièrement au-dessus de l'axe des x s'il est concave vers le haut et complètement en dessous de l'axe des x s'il est concave vers le bas faible.

Dans les deux premiers cas où il y a des racines, elles peuvent être calculées à partir du la formule de bhaskara.

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