Multiplier et diviser des fractions algébriques

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Au fractions algébriques sont des fractions dans lesquelles ils apparaissent polynômes au numérateur et au dénominateur ou au moins au dénominateur.

Exemples:

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$\dpi{120} \mathrm{\frac{2x}{5y}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{x-1}{2y^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{a-b}{a^2-b^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{1}{x^3 -8}}$

Ainsi, la multiplication et la division de fractions algébriques impliquent des calculs entre polynômes, c'est-à-dire des opérations entre termes à une ou plusieurs variables.

Multiplier des fractions algébriques

UN multiplier des fractions algébriques est similaire à multiplier des fractions numériques.

Il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et de multiplier les dénominateurs entre eux.

Rappelez-vous qu'en multiplication des pouvoirs Si les bases sont les mêmes, gardez la base et ajoutez les exposants: $\dpi{120} \mathrm{x^n.x^m x^{n+ m}}$ .

Exemples:

a) Calculer $\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3} \frac{x^3\cdot 5x^2}{3y\cdot 2y^ 3} \frac{5x^{5}}{6y^4}}$

b) Calculer $\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x} \frac{\annuler{\mathrm{x}}\cdot y\cdot \annuler{\mathrm {a}}}{a^{\annuler{2}}\cdot b\cdot 2\cdot \annuler{\mathrm{x}}} \frac{y}{2ab}}$

Notez que lorsque nous effectuons une multiplication, nous pouvons simplifier la fraction algébrique en annulant les facteurs égaux.

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Division de fractions algébriques

UN division de fractions algébriques est similaire à division de fractions numériques. Gardez simplement la première fraction et multipliez par l'inverse de la seconde fraction.

L'inverse de la seconde fraction s'obtient en inversant le numérateur et le dénominateur.

Exemples:

a) Calculer $\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y} :\frac{x^5}{4y}}$ .

En gardant la première fraction et en multipliant par l'inverse de la seconde, on a :

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y} :\frac{x^5}{4y} \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} }$

Il suffit donc de résoudre cette multiplication entre fractions :

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} \frac{12xy}{8x^5y} \frac{3}{2x^4} }$

Le résultat de la division est donc :

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y} :\frac{x^5}{4y} \frac{3}{2x^4}}$

b) Calculer $\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1} :\frac{a^4}{b^2-1}}$ .

En gardant la première fraction et en multipliant par l'inverse de la seconde, on a :

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1} :\frac{a^4}{b^2-1} \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^ 2-1}{a^4} }$

Maintenant, nous résolvons la multiplication entre fractions :

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^2-1}{a^4} \frac{a\cdot (b^2-1)}{a ^4\cpoint (b+1)} \frac{\annuler{\mathrm{a}}\cdot (b-1)\cdot \annuler{(\mathrm{b+1})}}{a^{\annuler{4}}\cdot \annuler{ (\mathrm{b+1})}} \frac{b-1}{a^3}}$

Pour simplifier, dans la seconde égalité, on utilise factoriser la différence de deux carrés.

Le résultat de la division est donc :

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1} :\frac{a^4}{b^2-1} \frac{b-1}{a^3}}$

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