Bien que simples, les concepts de multiples et diviseurs sont largement utilisés en mathématiques.
Les multiples d'un nombre sont ceux que l'on obtient en multipliant ce nombre par 0, 1, 2, 3, 4, 5, …, etc.
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Les diviseurs d'un nombre sont tous ceux pour lesquels la division du nombre par eux est une division exacte, c'est-à-dire avec un reste égal à zéro.
Vous souhaitez en savoir plus sur ces chiffres? consulter un liste d'exercices sur les multiples et les diviseurs, tous résolus, étape par étape, afin que vous puissiez dissiper tous vos doutes.
Question 1. Vérifiez si 84 est un multiple de :
un) 3
b) 6
c) 16
d) 21
Question 2. Quels sont les multiples de 3 entre 16 et 35 ?
Question 3. Quels sont les multiples de 5 entre 123 et 150 ?
Question 4. Un kit de chaussettes est livré avec trois paires. Si Roberto a acheté une certaine quantité de kits, est-il possible qu'il ait acheté 23 paires de chaussettes ?
Question 5. Dans la question précédente, quelles sont les sept plus petites quantités de paires de chaussettes que Roberto aurait pu acheter ?
Question 6. Quels nombres ci-dessous sont des diviseurs de 54 ?
a) 2
b) 4
c) 9
j) 11
Question 7. Parmi les diviseurs de 15, lesquels sont également des diviseurs de 25 ?
Question 8. Quel est le nombre de diviseurs de :
un) 24
b) 70
c) 582
d) 7020
Question 9. De combien de manières différentes pouvons-nous répartir 100 bonbons dans des paquets portant le même numéro ?
Question 10. Une enseignante veut organiser ses 27 élèves en rangées avec le même nombre d'élèves chacune. De combien de manières peut-elle le faire ?
Être un multiple d'un nombre équivaut à être divisible par ce nombre.
Il faut donc vérifier, dans chaque cas, si 84 est divisible par le nombre en question.
a) Oui, car 84 est divisible par 3.
b) Oui, car 84 est divisible par 6.
c) Non, car 84 n'est pas divisible par 16.
d) Oui, car 84 est divisible par 21.
On veut trouver les multiples de 3 entre 16 et 35. Parmi ces nombres, le plus petit multiple de 3 est 18, car 18 est divisible par 3.
Les multiples suivants peuvent être obtenus en ajoutant 3 unités au précédent, ainsi les multiples de 3 entre 16 et 35 sont: 18, 21, 24, 27, 30 et 33.
Entre les nombres 123 et 150, le plus petit multiple de 5 est 125, car 125 est divisible par 5.
Les multiples suivants peuvent être obtenus en ajoutant 5 unités au précédent. Ainsi les multiples de 5 entre 123 et 150 sont: 125, 130, 135, 140, 145, 150.
Ce n'est pas possible car les kits sont livrés avec trois paires de chaussettes et 23 n'est pas un multiple de 3.
Ce sont les multiples de 3, en commençant par 3 lui-même, soit: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24
Un nombre a est divisible par un nombre b uniquement lorsque b est divisible par a.
Ainsi, nous devons vérifier, dans chaque cas, si 54 est divisible par le nombre en question.
a) Oui, car 54 est divisible par 2.
b) Non, car 54 n'est pas divisible par 4.
c) Oui, car 54 est divisible par 9.
d) Non, car 54 n'est pas divisible par 11.
Trouvons d'abord les diviseurs de chacun des nombres.
D(15) = {1, 3, 5, 15}
D(25) = {1, 5, 25}
Donc les diviseurs de 15 qui sont aussi des diviseurs de 25 sont 1 et 5.
a) Pour trouver le nombre de diviseurs d'un nombre, il faut d'abord faire la décomposition en facteurs premiers.
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1
Donc 24 = 2. 2. 2. 3 = 2³. 3¹
Maintenant, à partir des exposants des facteurs, nous déterminons le nombre de diviseurs :
n = (3 + 1). (1 + 1) = 4. 2 = 6
Donc 24 a 6 diviseurs.
b) 70 = 2. 5. 7 = 2¹. 5¹. 7¹
n = (1 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 8
c) 582 = 2. 3. 97 = 2¹. 3¹. 97¹
n = (1 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 8
d) 7020 = 2². 3³. 5. 13 = 2². 3³. 5¹. 13¹
n = (2 + 1). (3 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 48
Le nombre de façons dont nous pouvons diviser 50 bonbons en quantités égales est le même nombre de diviseurs de 50.
100 = 2. 5²
n = (1 + 1). (2 + 1) = 6
Il y a donc 6 façons différentes.
Les diviseurs de 50 sont: 1, 2, 5, 10, 25 et 50. Donc les différentes manières sont :
1 paquet de 50 bonbons ;
2 paquets de 25 bonbons chacun ;
5 paquets de 10 bonbons chacun ;
10 paquets de 5 bonbons chacun ;
25 paquets de 2 bonbons chacun ;
50 paquets avec 1 balle chacun.
Le nombre de façons dont nous pouvons diviser 27 élèves en rangées du même nombre est le même nombre de diviseurs de 27.
27 = 3³
n = (3 + 1) = 4
Il y a donc 4 façons différentes.
Les diviseurs de 27 sont: 1, 3, 9 et 27. Donc les différentes manières sont :
1 rangée avec 27 élèves
3 lignes de 9 élèves chacune ;
9 lignes avec 3 élèves chacune ;
27 rangées avec 1 élève chacune.
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