Factorisation d'expressions algébriques

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expressions algébriques sont des expressions qui affichent des nombres et des variables, et factorisation d'expressions algébriques signifie écrire l'expression sous la forme d'une multiplication de deux termes ou plus.

La factorisation d'expressions algébriques peut faciliter de nombreux calculs algébriques, car lorsque nous factorisons, nous pouvons simplifier l'expression. Mais comment factoriser des expressions algébriques?

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Pour factoriser des expressions algébriques, nous utilisons les techniques que nous verrons ensuite.

affacturage par preuves

La factorisation par évidence consiste à mettre en évidence un terme commun dans l'expression algébrique.

Ce terme commun peut n'être qu'un nombre, une variable ou une multiplication des deux, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un monôme.

Exemple:

factoriser l'expression $\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2}$ .

Notez que dans les deux termes de cette expression, la variable apparaît $\dpi{120} \mathrm{x}$ , alors mettons-le en évidence :

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$\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2 x\cdot (3y-2x)}$

Factorisation par regroupement

À factoriser parregroupement, nous regroupons les termes qui ont un facteur en commun. Ensuite, nous mettons le facteur commun au premier plan.

Ainsi, le facteur commun est un polynôme et non plus un monôme, comme dans le cas précédent.

Exemple:

factoriser l'expression $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y}$ .

Notez que l'expression est formée par une somme de plusieurs termes et que, dans certains termes, apparaît $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ et dans d'autres il apparaît $\dpi{120} \mathrm{y}$ .

Réécrivons l'expression en regroupant ces termes :

$\dpi{120} \mathrm{ax^2 + 5x^2 - 10y - 2ay}$

Mettons les variables $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ C'est $\dpi{120} \mathrm{y}$ en évidence:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-y (2a+10)}$

Maintenant, voyez que le terme $\dpi{120} \mathrm{y (2y + 10)}$ peut être réécrit comme $\dpi{120} \mathrm{y (2a + 2\cdot 5)}$ , dont nous pouvons également mettre en évidence le chiffre 2 :

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-2y (a+5)}$

comme le polynôme $\dpi{120} \mathrm{(a+5)}$ apparaît dans les deux termes, nous pouvons le mettre en évidence une fois de plus :

$\dpi{120} \mathrm{(a+5)\cdot (x^2-2y)}$

Donc, $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y (a+5)\cdot (x^2 - 2y)}$ .

Factorisation de la différence de deux carrés

Si l'expression est une différence de deux carrés, elle peut être écrite comme le produit de la somme des bases et de la différence des bases. C'est un de produits notables:

$\dpi{120} \mathrm{(a^2 - b^2) (a +b)\cdot (a-b)}$

Exemple:

factoriser l'expression $\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2}$ .

Notez que cette expression peut être réécrite comme $\dpi{120} \mathrm{9^2 - (2x)^2}$ , c'est-à-dire qu'il s'agit d'une différence de deux termes au carré, dont les bases sont 9 et 2x.

Écrivons donc l'expression comme le produit de la somme des bases et de la différence des bases :

$\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2 (9+2x)\cdot (9-2x)}$

Factoriser le trinôme carré parfait

En factorisant le trinôme carré parfait, nous utilisons également les produits notables et écrivons l'expression comme le carré de la somme ou le carré de la différence entre deux termes :

$\dpi{120} \mathrm{a^2 + 2ab+b^2 (a + b)\cdot (a+b) (a+b)^2}$

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 2ab+b^2 (a - b)\cdot (a-b) (a-b)^2}$

Exemple:

factoriser l'expression $\dpi{120} \mathrm{x^2 + 22y + 121}$ .

Notez que l'expression est un trinôme carré parfait, comme $\dpi{120} \mathrm{\sqrt{x^2} x}$ , $\dpi{120} \sqrt{121}11$ C'est $\dpi{120} \mathrm{2\cdot x\cdot 11 22y}$ .