गिनती का मूल सिद्धांत (पीएफसी) संख्या गणना विधियों में से एक है संयुक्त विश्लेषण. यह सिद्धांत हमें उन तत्वों के साथ संभावित संयोजनों की संख्या की गणना करने की अनुमति देता है जिन्हें विभिन्न तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है।
पीएफसी एक सरल लेकिन बहुत उपयोगी विधि है, जिसका व्यापक रूप से संभाव्यता समस्याओं में, संभावित घटनाओं की संख्या निर्धारित करने में उपयोग किया जाता है।
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पीएफसी के बारे में अधिक समझाने के लिए, आइए कुछ उदाहरणों का उपयोग करें।
उदाहरण 1
अपने घर से चिड़ियाघर तक जाने के लिए, जूलियो को एक बस लेनी होगी जो उसे स्टेशन तक ले जाए और स्टेशन पर, उसे दूसरी बस लेनी होगी।
मान लीजिए कि तीन बस लाइनें हैं जो आपको स्टेशन तक ले जाती हैं, लाइनें A1, A2 और A3, और दो लाइनें हैं जो आपको स्टेशन से चिड़ियाघर तक ले जाती हैं, लाइनें B1 और B2। नीचे दिया गया चित्र इस स्थिति को दर्शाता है:
जूलियो जितना संभव हो उतने तरीकों से उपलब्ध बस लाइनों को मिलाकर अपने घर से चिड़ियाघर तक जा सकता है।
चित्रण से, हम देख सकते हैं कि कुल 6 संभावनाएँ हैं। हालाँकि, हम इस परिणाम को चित्रण के बिना भी खोज सकते हैं।
पीएफसी द्वारा, हम पथ के पहले भाग में संभावित रेखाओं की संख्या को दूसरे भाग में संभावित रेखाओं की संख्या से गुणा करते हैं:
उदाहरण 2
एक रेस्तरां में, ग्राहक स्टार्टर के लिए 4 विकल्प, मुख्य कोर्स के लिए 5 विकल्प और मिठाई के लिए 3 विकल्पों में से चुन सकता है। इस रेस्तरां में ग्राहक कितने संभावित तरीकों से स्टार्टर, मुख्य कोर्स और मिठाई चुन सकता है?
पीएफसी द्वारा, बस इन तीन मात्राओं को गुणा करें:
इसलिए, इस रेस्तरां में स्टार्टर, मुख्य कोर्स और मिठाई के साथ ग्राहक 60 संभावित संयोजनों में से चुन सकते हैं।
उदाहरण 3
SCHOOL शब्द में अक्षरों के क्रम को बदलकर कितने अलग-अलग शब्द बनाये जा सकते हैं?
देखिये कि स्कूल शब्द के अक्षर दोहराये नहीं गये हैं, वे सभी अलग-अलग हैं। फिर बने हुए शब्दों में अक्षरों की पुनरावृत्ति भी नहीं हो सकती।
शब्द में अक्षरों की 6 संभावित स्थितियों पर विचार करते हुए, हमारे पास है:
पीएफसी द्वारा, बस इन मात्राओं को गुणा करें:
देखिये पीएफसी कितना महत्वपूर्ण है! इसके बिना, हमें 720 की संख्या तक पहुंचने के लिए सभी संभावित शब्दों को लिखना होगा और फिर उन्हें गिनना होगा।
दूसरे के अक्षरों से बने शब्द कहलाते हैं अनाग्रामज़.
की समस्याओं में पीएफसी का बहुत उपयोग है संभावना. किसी प्रयोग में संभावित घटनाओं की संख्या निर्धारित करने के लिए सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।
उदाहरण:
एक पासे को लगातार तीन बार फेंका जाता है और प्राप्त फलक की जाँच की जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि पहली बार उछालने पर सम फलक, दूसरे उछाल पर विषम तथा तीसरे उछाल पर 4 से अधिक फलक आने की प्रायिकता क्या है?
अनुकूल मामले:
पीएफसी द्वारा, अनुकूल मामलों की संख्या प्राप्त करने के लिए, बस मात्राओं को गुणा करें:
संभावित मामले:
पीएफसी द्वारा, हम संभावित मामलों की संख्या भी प्राप्त कर सकते हैं:
इस प्रकार, हम वांछित संभावना की गणना कर सकते हैं:
इसलिए, संभावना यह है कि पहले टॉस में यह एक सम चेहरे के साथ आया, दूसरे टॉस में एक अजीब चेहरे के साथ। और तीसरी बार उछालने पर 4 से अधिक फलक बारह में से एक होता है, जो लगभग 0.083 या के बराबर होता है 8,3%.
पीएफसी से तत्वों की गिनती के लिए अन्य तकनीकें प्राप्त की जाती हैं: क्रमपरिवर्तन, व्यवस्था और संयोजन।
परिवर्तन
आपको कुल n तत्वों को व्यवस्थित करने की संभावनाओं की संख्या की गणना करने की अनुमति देता है, जिससे तत्वों की स्थिति आपस में बदल जाती है।
व्यवस्था
यह n तत्वों को आकार p के समूहों में व्यवस्थित करने की संभावनाओं की संख्या की गणना करने की अनुमति देता है, जब प्रत्येक समूह के भीतर तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण होता है।
संयोजन
यह तत्वों के क्रम में n तत्वों को आकार p के समूहों में व्यवस्थित करने की संभावनाओं की संख्या की गणना करने की अनुमति देता है नहीं प्रत्येक समूह के भीतर महत्वपूर्ण है।
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