बहुपदों की जीसीडी कैसे ज्ञात करें

हे महत्तम सामान्य भाजक(एमडीसी) दो या दो से अधिक के बीच पूर्ण संख्याएं सबसे बड़े से मेल खाता है डिवाइडर सामान्य जो उनके बीच मौजूद है। बीच में बहुआयामी पद, एमडीसी का भी यही विचार है।

इस प्रकार, यह समझने के लिए कि बहुपदों के बीच जीसीडी की गणना कैसे करें, यह जानना महत्वपूर्ण है कि पूर्णांकों की जीसीडी की गणना कैसे करें।

व्यावहारिक रूप से, एमडीसी को उत्पाद के रूप में प्राप्त किया जा सकता है प्रधान कारण सामान्य जो संख्याओं के बीच मौजूद है।

उदाहरण: 16 और 24 के बीच जीसीडी की गणना करें।

अभाज्य कारकों में अपघटन:

16 और 24 के बीच जीसीडी दो संख्याओं के लिए सामान्य कारकों का उत्पाद है, अर्थात,

जीसीडी(16,24) = 2. 2. 2 = 8.

अब देखते हैं बहुपदों की जीसीडी कैसे ज्ञात करें. हम सबसे सरल मामले से शुरुआत करेंगे, एक ही पद से बनने वाले बहुपदों से: द एकपदीयों.

एकपदी की जीसीडी

आइए दो या दो से अधिक एकपदी के बीच जीसीडी की गणना कैसे करें इसके कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1: एमडीसी 6x और 15x के बीच।

अभाज्य कारकों में विघटित होने पर, हमारे पास है:

6 = 2. 3 और 15 = 3. 5

इसलिए, हम प्रत्येक एकपदी को इस प्रकार लिख सकते हैं:

6x = 2. 3. एक्स

15x= 3. 5. एक्स

इसलिए, एमडीसी है 3x.

उदाहरण 2: एमडीसी 18x²y और 30xy के बीच।

अभाज्य कारकों में विघटित होने पर, हमारे पास है:

18 = 2. 3. 3 और 30 = 2. 3. 5

इसलिए, हम प्रत्येक एकपदी को इस प्रकार लिख सकते हैं:

18x²y = 2. 3. 3. x². य = 2. 3. 3. एक्स. एक्स। य

30xy = 2. 3. 5. एक्स. य 

2. 3. एक्स। y = 6x

तो, एमडीसी है 6xy.

बहुपदों की जीसीडी

बहुपदों की GCD ज्ञात करने के लिए, हम पहले जाँचते हैं कि क्या उनमें से प्रत्येक का गुणनखंड करना संभव है। इसके लिए हम तकनीकों का उपयोग करते हैं बहुपद गुणनखंडन.

उदाहरण 1: (x² – y²) और (2x – 2y) के बीच GCD।

ध्यान दें कि पहला बहुपद दो वर्गों के अंतर से मेल खाता है। इसलिए हम इसे इस प्रकार मान सकते हैं:

x² – y² = (x – y).(x + y)

पहले से ही दूसरे बहुपद में, हम साक्ष्य में सामान्य गुणनखंड, 2 लिख सकते हैं:

2x – 2y = 2.(x – y)

इस प्रकार, हमारे पास है:

x² – y² = (एक्स - वाई).(एक्स + वाई)

2x – 2y = 2.(एक्स - वाई)

तो, बहुपदों के बीच जीसीडी है (एक्स - वाई).

उदाहरण 2: (x³ + 27) और (x² + 6x + 9) के बीच जीसीडी।

पहला बहुपद दो घनों के बीच के योग से मेल खाता है, देखें:

x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)

और दूसरा बहुपद, दो पदों के योग का वर्ग:

x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)

तो, हमें यह करना होगा:

x³ + 27 = (एक्स + 3).(x² – 3x + 9)

x² + 6x + 9 = (एक्स + 3).(एक्स + 3)

इसलिए, बहुपदों के बीच जीसीडी है (एक्स + 3).

उदाहरण 3: (2x² – 32) और (x³ + 12x² + 48x + 64) के बीच जीसीडी।

यहाँ, पहला बहुपद दो वर्गों के बीच का अंतर है:

2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)

इस बीच, दूसरा बहुपद दो पदों के योग का घन है:

x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)

तो, हमें यह करना होगा:

2x² – 32 = 2.(x – 4).(एक्स + 4)

x³ + 12x² + 48x + 64 = (एक्स + 4).(एक्स + 4).(एक्स + 4)

इसलिए, बहुपदों के बीच जीसीडी है (एक्स + 4).

एमएमसी और एमडीसी के बीच अंतर

एमडीसी और की अवधारणाओं के बीच भ्रम एमएमसी (न्यूनतम समापवर्तक). हालाँकि, जबकि GCD उच्चतम सामान्य भाजक से मेल खाता है, MMC सबसे कम सामान्य गुणक द्वारा दिया जाता है।

एमएमसी भिन्नात्मक समीकरणों को हल करने में एक बहुत ही उपयोगी उपकरण है, क्योंकि सामान्य तौर पर, के हर अंशों वे एक जैसे नहीं हैं.

इन स्थितियों में, हम हर के बीच का एमएमसी निकालते हैं और वहां से लिखते हैं समतुल्य भाग एक ही भाजक का.

हालाँकि, हर हमेशा ज्ञात संख्याएँ नहीं होते हैं, वे बीजगणितीय अभिव्यक्ति या बहुपद हो सकते हैं। इसलिए, इसकी गणना करना आम बात है बहुपद एमएमसी.

इस समय, यह महत्वपूर्ण है कि भ्रमित न हों और इच्छा न करें समीकरण का GCD ज्ञात कीजिए, जब गणना की जानी है तो समीकरण का एमएमसी है।

आपकी रुचि भी हो सकती है:

• समतुल्य भिन्नों पर अभ्यास
• भिन्नों को कैसे जोड़ें और घटाएँ
• प्रथम डिग्री समीकरणों को हल करने की व्यावहारिक विधि
• विभाज्यता मानदंड