द्वितीय डिग्री समीकरण के लक्षण

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एक दूसरी डिग्री की नौकरी f(x) = ax² + bx + c = 0 के रूप का कोई फलन है , बी यह है डब्ल्यू वास्तविक संख्या होना और शून्य से भिन्न.

अध्ययन द्वितीय डिग्री फ़ंक्शन के संकेत कहने का मतलब है कि किस मान के लिए एक्स फलन धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य के बराबर है।

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इस प्रकार, हमें यह पहचानने की आवश्यकता है कि हमारे पास x के मान क्या हैं:

f (x) > 0 → धनात्मक फलन

f (x) < 0 → ऋणात्मक फलन

f (x) = 0 → शून्य फ़ंक्शन

लेकिन हम यह कैसे जान सकते हैं? किसी द्वितीय डिग्री फ़ंक्शन के चिह्न का अध्ययन करने का एक तरीका उसके ग्राफ़ के माध्यम से है, जो कि है दृष्टांत.

ग्राफ़ से दूसरी डिग्री फ़ंक्शन के संकेत

पर कार्तीय तल, f (x) > 0 परवलय के उस भाग से मेल खाता है जो x अक्ष के ऊपर है, f (x) = 0 परवलय का वह भाग जो x अक्ष को प्रतिच्छेद करता है और f (x) < 0, परवलय का वह भाग है वह x अक्ष के नीचे है।

इसलिए हमें फ़ंक्शन के संकेतों की पहचान करने के लिए केवल परवलय का रेखाचित्र बनाने की आवश्यकता है। स्केच बस यह जानकर बनाया जाता है कि क्या है

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परवलय की अवतलता और यह x-अक्ष को काटता है या नहीं, और यदि काटता है, तो किन बिंदुओं पर काटता है।

हमारे पास छह अलग-अलग मामले हो सकते हैं।

मामला एक) दो जड़ों वाले द्वितीय डिग्री फलन के लक्षण $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ यह है $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ ऊपर की ओर मुख किए हुए परवलय की स्पष्टता और अवतलता।

ग्राफ़ से, हम यह पहचान सकते हैं:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{x x_1} \: या\: \mathrm{x x_2}} \\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1 \: या \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {रंग{सफेद} 0000} \end{matrix}\right.$

केस 2) दो जड़ों वाले द्वितीय डिग्री फलन के लक्षण $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ यह है $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ नीचे की ओर मुख किये हुए परवलय की स्पष्टता और अवतलता।

ग्राफ़ से, हम यह पहचान सकते हैं:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x_1 x x_2} {color{White} 0000} \\ \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1 \: या \: x x_2}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{x x_1} \: या \: \mathrm{x x_2 }} \end{matrix}\right.$

केस 3) दो जड़ों वाले द्वितीय डिग्री फलन के लक्षण $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ यह है $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ ऊपर की ओर मुख किये हुए परवलय की समता और अवतलता।

ग्राफ़ से, हम यह पहचान सकते हैं:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrix}\right.$

केस 4) दो जड़ों वाले द्वितीय डिग्री फलन के लक्षण $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_1}$ यह है $\dpi{120} \bg_white \mathrm{x_2}$ नीचे की ओर मुख किये हुए परवलय की समता और अवतलता।

ग्राफ़ से, हम यह पहचान सकते हैं:

$\dpi{120} \bg_white \left\{\begin{matrix} \mathrm{f (x) 0, \: if\: x x_1}\\ \mathrm{f (x) 0, if\: \mathrm{ x \neq x_1 }} \end{matrix}\right.$

केस 5) वास्तविक जड़ों और ऊपर की ओर अवतल परवलय के बिना दूसरी डिग्री के एक फ़ंक्शन के संकेत। द्वितीय डिग्री फ़ंक्शन के लक्षण

इस मामले में, हमारे पास वास्तविक से संबंधित किसी भी x के लिए f (x) > 0 है।

केस 6) नीचे की ओर मुख किए हुए परवलय की वास्तविक जड़ों और अवतलता के बिना दूसरी डिग्री के फ़ंक्शन के संकेत।

इस मामले में, हमारे पास वास्तविक से संबंधित किसी भी x के लिए f (x) < 0 है।

परवलय की अवतलता की जांच कैसे करें

परवलय की अवतलता गुणांक के मान से निर्धारित की जा सकती है दूसरी डिग्री के कार्य का.

यदि a > 0, तो परवलय ऊपर की ओर अवतल होता है;
यदि a < 0 है, तो परवलय नीचे की ओर अवतल होता है।

कैसे जांचें कि परवलय x-अक्ष को काटता है या नहीं

यह जाँचना कि परवलय x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है या नहीं, इसका मतलब यह निर्धारित करना है कि फ़ंक्शन की जड़ें हैं या नहीं और यदि हां, तो वे क्या हैं। हम इसकी गणना करके यह निर्धारित कर सकते हैं भेदभाव: $\dpi{120} \bg_white \Delta b^2 - 4.a.c$ .

अगर $\dpi{120} \bg_white \डेल्टा$ > 0, फ़ंक्शन की दो अलग-अलग वास्तविक जड़ें हैं, और परवलय x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।
अगर $\dpi{120} \bg_white \डेल्टा$ = 0, फ़ंक्शन के दो समान वास्तविक मूल हैं, परवलय x-अक्ष को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
अगर $\dpi{120} \bg_white \डेल्टा$ < 0, फ़ंक्शन की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं और परवलय पूरी तरह से ऊपर होने के कारण, x-अक्ष को नहीं काटता है यदि x-अक्ष ऊपर की ओर अवतल है और यदि यह नीचे की ओर अवतल है तो x-अक्ष के पूर्णतया नीचे है कम।

पहले दो मामलों में जहां जड़ें हैं, उनकी गणना इससे की जा सकती है भास्कर का सूत्र.

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