की कुछ तकनीकें हैं बहुपद गुणनखंडन जो हमें उन्हें दो या दो से अधिक बहुपदों के गुणन के रूप में लिखने की अनुमति देता है।
किसी पद को हाइलाइट करना, समूहीकरण करना, पूर्ण वर्ग त्रिपद के रूप में लिखना और कई अन्य प्रकार के तरीके सीखने के लिए उल्लेखनीय उत्पाद, एक की जाँच करें हल किए गए इनवॉइसिंग अभ्यासों की सूची जो हमने तैयार किया.
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प्रश्न 1। उभयनिष्ठ गुणनखंड को साक्ष्य में लिखना, बहुपदों का गुणनखंड करना:
ए) 15x + 15y
बी) x² + 9xy
ग) ab – a³b³
d) a²z + abz
प्रश्न 2। प्रत्येक बहुपद का गुणनखंड करें:
ए) x² – xy – x
बी) 24x³ - 8x² - 56x³
सी) ए.(एक्स + वाई) – बी.(एक्स + वाई)
डी) बी.(ए - एक्स) - सी.(ए - एक्स)
प्रश्न 3। क्लस्टरिंग और सामान्य-कारक-में-साक्ष्य तकनीकों का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित बहुपदों का गुणनखंड करें:
ए) ए² + एबी + एएक्स + बीएक्स
बी) bx² – 2by + 5x² – 10y
ग) 2an + n -2am – m
d) ax – bx + cx + ay – by + cy
प्रश्न 4. नीचे दिए गए बहुपद दो वर्गों का अंतर दर्शाते हैं। उनमें से प्रत्येक को गुणनखंडित रूप में लिखें।
ए) ए² - 64
बी) (x – 4)² – 16
सी) (वाई + 1)² – 25
d) x² – (x + y)²
प्रश्न 5. निम्नलिखित बहुपद को गुणन के रूप में लिखकर गुणनखंड करें:
(ए - बी + 2)² - (ए - बी - 2)²
प्रश्न 6. जांचें कि नीचे दिया गया प्रत्येक त्रिपद एक पूर्ण वर्ग त्रिपद दर्शाता है, फिर गुणनखंडन करें।
a) a² - 10ab + 25b²
बी) x² – 8x + 25
ग) 9x² – 6x + 1
d) 16a² + 24ab + 9b²
प्रश्न 7. नीचे दिए गए बहुपद को इस प्रकार पूरा करें कि यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद हो।
x² + 4x
प्रश्न 8. फैक्टरिंग तकनीकों का उपयोग करके, समीकरणों की जड़ें खोजें:
ए) x² – 9x = 0
बी) x² – 64 = 0
सी) y² – y = 0
घ) x² – 1 = 0
ए) 15x + 15y = 15.(x + y)
बी) x² + 9xy = x.(x + 9y)
ग) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
d) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y -1)
बी) 24x³ – 8x² – 56x³ = 8x².(3x – 1 – 7x)
सी) ए.(एक्स + वाई) – बी.(एक्स + वाई) = (एक्स + वाई).(ए + बी)
डी) बी.(ए - एक्स) - सी.(ए - एक्स) = (ए - एक्स).(बी - सी)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
बी) bx² – 2by + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2by – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
सी) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
d) ax – bx + cx + ay – by + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
ए) ए² – 64 = (ए + 8).(ए – 8)
बी) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4).(x – 4 – 4) = x.(x – 8)
सी) (वाई + 1)² – 25 = ((वाई + 1) + 5)। ((y + 1) – 5) = (y + 1 + 5).(y + 1 – 5) = (y + 6).(y – 4)
d) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(ए – बी + 2)² – (ए – बी – 2)² =
((ए – बी + 2) + (ए – बी – 2)). ((ए – बी + 2) – (ए – बी – 2)) =
(ए - बी + 2 + ए - बी - 2)। (ए - बी + 2 - ए + बी + 2) =
(2ए - 2बी)। (4) =
4.(2ए – 2बी)
a) a² - 10ab + 25b²
सबसे पहले, हम उन पदों का वर्गमूल लेते हैं जिनका हम वर्ग करते हैं:
√a² =
√25b² = 5 ब
जैसे 2. . 5 ब = 10ab → त्रिपद का शेष पद। अतः बहुपद एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है।
आइए गुणनखंड करें: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
बी) x² – 8x + 25
√x² = एक्स
√25 = 5
2. एक्स. 5 = 10x → शेष पद से मेल नहीं खाता जो 8x है। अतः बहुपद एक पूर्ण वर्ग त्रिपद नहीं है।
ग) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → त्रिपद का शेष पद। अतः बहुपद एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है।
आइए गुणनखंड करें: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
d) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4
√9b² = 3 बी
2. 4. 3 बी = 24ab → त्रिपद का शेष पद। अतः बहुपद एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है।
आइए गुणनखंड करें: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
हमें एक पूर्ण वर्ग त्रिपद इस प्रकार लिखना चाहिए: x² + 2xy + y² = (x + y)²
इसलिए हमें y का मान ज्ञात करना होगा। अपने पास:
2xy = 4x
2y = 4
y = 4/2
आप = 2
इस प्रकार, हमें बहुपद में पद y² = 2² = 4 जोड़ना होगा ताकि यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद हो: x² + 4x + 4 = (x + 2)²।
क) साक्ष्य में x रखना:
एक्स.(एक्स – 9) = 0
तब x = 0 या
एक्स - 9 = 0 ⇒ एक्स = 9
जड़ें: 0 और 9
ख) हमारे पास दो वर्गों के बीच अंतर है:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8).(x – 8) = 0
अर्थात्, x + 8 = 0 या x – 8 = 0.
एक्स + 8 = 0 ⇒ एक्स = -8
एक्स - 8 = 0 ⇒ एक्स = 8
जड़ें:-8 और 8.
ग) y को साक्ष्य में रखना:
y.(y – 1) = 0
तो y = 0 या y – 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
जड़ें: 0 और 1
घ) यह याद रखते हुए कि 1 = 1², हमें दो वर्गों के बीच अंतर मिलता है:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1).(x – 1) = 0
इसलिए, x + 1 = 0 या x - 1 = 0.
एक्स + 1 = 0 ⇒ एक्स = -1
एक्स - 1 = 0 ⇒ एक्स = 1
जड़ें:- 1 और 1.
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