यद्यपि सरल, की अवधारणाएँ गुणज और भाजक गणित में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
किसी संख्या के गुणज वे होते हैं जो हमें उस संख्या को 0, 1, 2, 3, 4, 5,…, इत्यादि से गुणा करने पर प्राप्त होते हैं।
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किसी संख्या के विभाजक वे सभी होते हैं जिनके द्वारा संख्या का विभाजन एक सटीक विभाजन होता है, अर्थात शेषफल शून्य के बराबर होता है।
क्या आप इन नंबरों के बारे में अधिक जानना चाहते हैं? एक जाँच करें गुणज और भाजक पर अभ्यास की सूची, उन सभी को चरण दर चरण हल किया गया है, ताकि आप अपने सभी संदेह दूर कर सकें।
प्रश्न 1। जांचें कि क्या 84 इनमें से एक गुणज है:
ए) 3
बी) 6
ग) 16
घ) 21
प्रश्न 2। 16 और 35 के बीच 3 के गुणज क्या हैं?
प्रश्न 3। 123 और 150 के बीच 5 के गुणज क्या हैं?
प्रश्न 4. मोज़ों की एक किट तीन जोड़ी के साथ आती है। यदि रॉबर्टो ने एक निश्चित मात्रा में किट खरीदी, तो क्या यह संभव है कि उसने 23 जोड़ी मोज़े खरीदे?
प्रश्न 5. पिछले प्रश्न में, मोज़े की सात सबसे छोटी जोड़ी कौन सी हैं जिन्हें रॉबर्टो खरीद सकता था?
प्रश्न 6. नीचे दी गई कौन सी संख्याएँ 54 की भाजक हैं?
ए) 2
बी 4
ग) 9
घ) 11
प्रश्न 7. 15 के कौन से भाजक 25 के भी भाजक हैं?
प्रश्न 8. के विभाजक की संख्या क्या है:
ए) 24
बी) 70
ग) 582
घ) 7020
प्रश्न 9. हम कितने अलग-अलग तरीकों से 100 कैंडी को समान संख्या वाले पैकेट में वितरित कर सकते हैं?
प्रश्न 10. एक शिक्षिका अपने 27 विद्यार्थियों को पंक्तियों में व्यवस्थित करना चाहती है जिनमें प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या समान हो। वह ऐसा कितने तरीकों से कर सकती है?
किसी संख्या का गुणज होना, होने के समान है भाज्य उस नंबर से.
इसलिए हमें प्रत्येक मामले में यह जांचना होगा कि क्या 84 संबंधित संख्या से विभाज्य है।
a) हाँ, क्योंकि 84, 3 से विभाज्य है।
ख) हाँ, क्योंकि 84, 6 से विभाज्य है।
ग) नहीं, क्योंकि 84, 16 से विभाज्य नहीं है।
घ) हाँ, क्योंकि 84, 21 से विभाज्य है।
हम 16 और 35 के बीच 3 का गुणज ज्ञात करना चाहते हैं। इन संख्याओं में, 3 का सबसे छोटा गुणज 18 है, क्योंकि 18, 3 से विभाज्य है।
अगले गुणज को पिछले एक में 3 इकाइयाँ जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए 16 और 35 के बीच 3 के गुणज हैं: 18, 21, 24, 27, 30 और 33।
संख्या 123 और 150 के बीच, 5 का सबसे छोटा गुणज 125 है, क्योंकि 125, 5 से विभाज्य है।
पिछले गुणक में 5 इकाइयाँ जोड़कर अगला गुणक प्राप्त किया जा सकता है। तो 123 और 150 के बीच 5 के गुणज हैं: 125, 130, 135, 140, 145, 150।
यह संभव नहीं है क्योंकि किट तीन जोड़ी मोज़ों के साथ आती है और 23, 3 का गुणज नहीं है।
वे 3 के गुणज हैं, जो 3 से ही शुरू होते हैं, अर्थात्: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24
एक संख्या a, संख्या b से तभी विभाज्य होती है जब b, a से विभाज्य हो।
इस प्रकार, हमें प्रत्येक मामले में यह जांचना होगा कि क्या 54 संबंधित संख्या से विभाज्य है।
a) हाँ, क्योंकि 54, 2 से विभाज्य है।
ख) नहीं, क्योंकि 54, 4 से विभाज्य नहीं है।
ग) हां, क्योंकि 54, 9 से विभाज्य है।
d) नहीं, क्योंकि 54, 11 से विभाज्य नहीं है।
सबसे पहले, आइए प्रत्येक संख्या के भाजक ज्ञात करें।
डी(15) = {1, 3, 5, 15}
डी(25) = {1, 5, 25}
तो 15 के भाजक जो 25 के भी भाजक हैं 1 और 5 हैं।
a) किसी संख्या के भाजक की संख्या ज्ञात करने के लिए, हमें सबसे पहले यह करना होगा अभाज्य कारकों में विघटित होना.
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1
अत: 24 = 2. 2. 2. 3 = 2³. 3¹
अब, गुणनखंडों के घातांकों से, हम भाजक की संख्या निर्धारित करते हैं:
एन = (3 + 1). (1 + 1) = 4. 2 = 6
अतः 24 में 6 भाजक हैं।
बी) 70 = 2. 5. 7 = 2¹. 5¹. 7¹
एन = (1 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 8
ग) 582 = 2. 3. 97 = 2¹. 3¹. 97¹
एन = (1 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 8
घ) 7020 = 2². 3³. 5. 13 = 2². 3³. 5¹. 13¹
एन = (2 + 1). (3 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 48
जितने तरीकों से हम 50 कैंडी को समान मात्रा में विभाजित कर सकते हैं, उतनी ही संख्या 50 के भाजक की है।
100 = 2. 5²
एन = (1 + 1). (2 + 1) = 6
तो 6 अलग-अलग तरीके हैं।
50 के भाजक हैं: 1, 2, 5, 10, 25 और 50. तो अलग-अलग तरीके हैं:
50 कैंडी का 1 पैक;
प्रत्येक 25 कैंडी के साथ 2 पैकेज;
प्रत्येक 10 कैंडी के साथ 5 पैकेज;
प्रत्येक 5 कैंडी के साथ 10 पैकेज;
प्रत्येक 2 कैंडी के साथ 25 पैकेज;
प्रत्येक 1 गोली के साथ 50 पैकेज।
हम 27 विद्यार्थियों को एक ही संख्या की पंक्तियों में जितने तरीकों से विभाजित कर सकते हैं, 27 के भाजक की संख्या उतनी ही है।
27 = 3³
एन = (3 + 1) = 4
तो 4 अलग-अलग तरीके हैं।
27 के भाजक हैं: 1, 3, 9 और 27. तो अलग-अलग तरीके हैं:
27 छात्रों के साथ 1 पंक्ति
प्रत्येक 9 छात्रों के साथ 3 पंक्तियाँ;
प्रत्येक 3 छात्रों के साथ 9 पंक्तियाँ;
प्रत्येक 1 छात्र के साथ 27 पंक्तियाँ।
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