आप उल्लेखनीय उत्पाद वे यह नामकरण प्राप्त करते हैं क्योंकि उन्हें ध्यान देने की आवश्यकता है। मुझे आश्चर्य है क्योंकि? सिर्फ इसलिए कि वे गणना को आसान बनाते हैं, संकल्प समय को कम करते हैं और सीखने में तेजी लाते हैं।
अतीत में, यूनानियों ने प्रक्रियाओं का उपयोग किया था। बीजगणितीय और ज्यामितीय बिल्कुल आधुनिक उल्लेखनीय उत्पादों के समान। पर. अलेक्जेंड्रिया के काम के यूक्लिड, तत्व, उल्लेखनीय उत्पाद थे। ज्यामितीय अभ्यावेदन के रूप में उपयोग और दर्ज किया गया।
बीजगणित में, बहुपद बहुत बार प्रकट होते हैं और इन्हें उल्लेखनीय उत्पाद कहा जा सकता है। इस लेख में हम अक्सर उल्लेखनीय उत्पादों से जुड़े कुछ बीजीय संक्रियाओं के बारे में जानेंगे, जैसे कि दो पदों के योग का वर्ग, o दो पदों के अंतर का वर्ग, दो पदों के अंतर से योग का गुणनफल, दो पदों के योग का घन और अंत में दो पदों के अंतर का घन शर्तें।
यह भी देखें: रोमन अंक।
सूची
इसके अलावा नैसा ओलिवेरा की व्याख्या के अनुसार, से स्नातक। गणित, उल्लेखनीय उत्पाद पांच अलग-अलग मामले प्रस्तुत करते हैं। उनके अनुसार, इससे पहले कि हम समझें कि उल्लेखनीय उत्पाद क्या हैं, हमें यह जानना चाहिए कि वे क्या हैं। बीजीय व्यंजक, अर्थात् ऐसे समीकरण जिनमें अक्षर और संख्याएँ होती हैं।
कुछ उदाहरण देखें:
2x + 3 = 4
-y + 2x + 1 = 0
z2 + कुल्हाड़ी + 2y = 3
उल्लेखनीय उत्पादों के सामान्य सूत्र होते हैं, जो अपने आप होते हैं। इसके बजाय, वे बीजीय उत्पादों का सरलीकरण हैं। देखो:
(एक्स + 2)। (एक्स + 2) =
(वाई - 3)। (वाई - 3) =
(जेड + 4)। (जेड - 4) =
उल्लेखनीय उत्पादों के पांच अलग-अलग मामले हैं, अर्थात्:
पहला मामला: दो पदों के योग का वर्ग।
वर्ग = घातांक २;
दो पदों का योग = a + b;
अत: दो पदों के योग का वर्ग है: (a + b) 2
योग के वर्ग का गुणनफल बनाते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
(ए + बी) 2 = (ए + बी)। (ए + बी) = ए 2 + ए। बी + ए। बी + बी 2 = ए 2। + 2. द. बी+बी२
यह सभी अभिव्यक्ति, जब कम हो जाती है, तो उत्पाद बनाती है। उल्लेखनीय है, जो इसके द्वारा दिया गया है:
(ए + बी) 2 = ए 2 + 2. द. बी+बी२
अत: दो पदों के योग का वर्ग बराबर होता है। पहले पद का वर्ग, जमा पहले पद का दुगना गुणा दूसरा, जमा। दूसरे कार्यकाल का वर्ग।
उदाहरण:
(2 + ए) 2 = 22 + 2. 2. ए + ए 2 = 4 + 4। ए + ए2
(3x + y) 2 = (३ एक्स) २ + २. 3x। y + y2 = 9×2 +6। एक्स। वाई + वाई२
दूसरा मामला: स्क्वायर। दो शब्दों के अंतर से।
वर्ग = घातांक २;
दो पदों का अंतर = a - b;
अत: दो पदों के अंतर का वर्ग है: (a - b) 2.
हम संपत्ति के माध्यम से उत्पादों को ले जाएंगे। वितरणात्मक:
(ए - बी) 2 = (ए - बी)। (ए - बी) = ए 2 - ए। बी 0 ए। बी + बी 2 = ए 2। - २. बी+बी२
इस अभिव्यक्ति को कम करते हुए, हमें एक उल्लेखनीय उत्पाद मिलता है:
(ए - बी) 2 = ए 2 - 2 .ए। बी+बी२
तो हमारे पास दो पदों के अंतर का वर्ग क्या है। पहले पद के वर्ग के बराबर, पहले पद के दोगुने से घटाकर। दूसरा, प्लस दूसरे कार्यकाल का वर्ग।
उदाहरण:
(ए - 5 सी) 2 = ए 2 - 2। द. 5c + (5c) 2 = a2 - 10। द. सी + 25c2
(पी - 2 एस) = पी २ - २। पी 2s + (2s) 2 = p2 - 4। पी एस + 4s2
तीसरा मामला: उत्पाद। दो शब्दों के अंतर से योग का।
उत्पाद = गुणन संक्रिया;
दो पदों का योग = a + b;
दो पदों का अंतर = a - b;
योग और दो पदों के अंतर का गुणनफल है: (a + b)। (ए - बी)
(a + b) के गुणनफल को हल करना। (ए - बी), हम प्राप्त करते हैं:
(ए + बी)। (ए - बी) = ए 2 - एबी + एबी - बी 2 = ए 2 + 0 + बी 2 = ए 2 - बी 2
अभिव्यक्ति को कम करते हुए, हमें उल्लेखनीय उत्पाद मिलता है:
(ए + बी)। (ए - बी) = ए2 - बी2
इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि योग का गुणनफल। दो पदों का अंतर पहले पद के वर्ग को घटाकर वर्ग के बराबर है। दूसरे कार्यकाल का।
उदाहरण:
(2 - सी)। (2 + सी) = 22 - सी 2 = 4 - सी 2
(3×2 – 1). (3×2 + 1) = (3×2)2 – 12 =9×4 – 1
चौथा मामला: घन। दो पदों के योग का
घन = घातांक ३;
दो पदों का योग = a + b;
अत: दो पदों के योग का घन है: (a + b) 3
वितरण संपत्ति के माध्यम से उत्पाद बनाना, हम प्राप्त करते हैं:
(ए + बी) 3 = (ए + बी)। (ए + बी)। (ए + बी) = (ए 2 + ए। बी + ए। बी + बी 2)। (ए + बी) = (ए 2 + 2. द. बी + बी 2)। (ए + बी) = ए ३ +२। ए २. बी + ए। ख2. + ए २। बी + 2. द. b2 + b3 = a3 +3। ए २. बी + 3. द. बी२ + बी३
अभिव्यक्ति को कम करते हुए, हमें उल्लेखनीय उत्पाद मिलता है:
(ए + बी) 3 = ए 3 + 3। ए २. बी + 3. द. बी२ + बी३
दो पदों के योग का घन पहले पद के घन द्वारा दिया जाता है, साथ ही पहले पद का तीन गुणा दूसरे पद से, जमा तीन से। पहले पद को दूसरे वर्ग से गुणा करें, साथ ही दूसरे पद का घन।
उदाहरण
(३सी + २ए) ३ = (३सी) ३ + ३। (३सी) २ .२ए + ३। 3सी. (2ए) 2 + (2ए) 3 = 27c3 + 54। c2. +36 तक। सी। ए2 + 8ए3
पांचवां मामला: क्यूब ऑफ द। दो-अवधि का अंतर
घन = घातांक ३;
दो पदों का अंतर = a - b;
इसलिए, दो पदों के अंतर का घन है: (a - b)3.
उत्पाद बनाना, हम प्राप्त करते हैं:
(ए - बी) 3 = (ए - बी)। (ए - बी)। (ए - बी) = (ए 2 - ए। बी 0 ए। बी + बी 2)। (ए - बी) = (ए 2 - 2. द. बी + बी 2)। (ए - बी) = ए ३ - २। ए २. बी + ए। बी २ - ए २। बी + 2. द. b2 - b3 = a3 - 3। ए २. बी + 3. द. बी2 - बी3
अभिव्यक्ति को कम करते हुए, हमें उल्लेखनीय उत्पाद मिलता है:
(ए - बी) 3 = ए3 - 3। ए २. बी + 3. द. बी2 - बी3
दो पदों के अंतर का घन के घन द्वारा दिया जाता है। पहला, दूसरे पद के लिए पहले पद का तीन गुना घटा, दूसरे वर्ग के लिए पहले पद का तीन गुना, का घन घटा। दूसरी पारी।
उदाहरण:
(x - 2y) 3 = x3 - 3। x2. २y + ३. एक्स। (2y) 2 - (2y) 3 =x3 - 6। x2. वाई + 12. एक्स। y2 - 8y3
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