Kako pronaći GCD polinoma

O najveći zajednički djelitelj(MDC) između dva ili više cijeli brojevi odgovara najvećem šestar zajedničkog što među njima postoji. Između polinomi, MDC ima istu ideju.

Dakle, da bismo razumjeli kako izračunati GCD između polinoma, važno je znati kako izračunati GCD cijelih brojeva.

Na praktičan način, MDC se može dobiti kao proizvod glavni faktori zajedničke koje postoje između brojeva.

Primjer: Izračunajte GCD između 16 i 24.

Rastavljanje na proste faktore:

GCD između 16 i 24 umnožak je zajedničkih faktora za ta dva broja, tj.

GCD(16, 24) = 2. 2. 2 = 8.

Sada da vidimo kako pronaći GCD polinoma. Počet ćemo s najjednostavnijim slučajem, s polinomima formiranim od jednog člana: the monomi.

GCD monoma

Pogledajmo neke primjere kako izračunati GCD između dva ili više monoma.

Primjer 1: MDC između 6x i 15x.

Rastavljanjem na proste faktore imamo:

6 = 2. 3 i 15 = 3. 5

Stoga svaki od monoma možemo napisati na sljedeći način:

6x = 2. 3. x

15x = 3. 5. x

Stoga je MDC 3x.

Primjer 2: MDC između 18x²y i 30xy.

Rastavljanjem na proste faktore imamo:

18 = 2. 3. 3 i 30 = 2. 3. 5

Stoga svaki od monoma možemo napisati na sljedeći način:

18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. x. x. g

30xy = 2. 3. 5. x. g 

2. 3. x. y = 6x

Dakle, MDC je 6xy.

GCD polinoma

Da bismo pronašli GCD polinoma, prvo provjerimo je li moguće rastaviti svaki od njih na faktore. Za to koristimo tehnike faktorizacija polinoma.

Primjer 1: GCD između (x² – y²) i (2x – 2y).

Imajte na umu da prvi polinom odgovara razlici dvaju kvadrata. Dakle, možemo ga faktorizirati na sljedeći način:

x² – y² = (x – y).(x + y)

Već u drugom polinomu možemo zapisati zajednički faktor 2 kao dokaz:

2x – 2y = 2.(x – y)

Na taj način imamo:

x² – y² = (x – y).(x + y)

2x – 2y = 2.(x – y)

Dakle, GCD između polinoma je (x – y).

Primjer 2: GCD između (x³ + 27) i (x² + 6x + 9).

Prvi polinom odgovara zbroju između dvije kocke, vidi:

x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3).(x² – 3x + 9)

I drugi polinom, kvadrat na zbroj dvaju članova:

x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3).(x + 3)

Dakle, moramo:

x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)

x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)

Prema tome, GCD između polinoma je (x + 3).

Primjer 3: GCD između (2x² – 32) i (x³ + 12x² + 48x + 64).

Ovdje je prvi polinom razlika između dva kvadrata:

2x² – 32 = 2.(x² – 16) = 2.(x² – 4²) = 2.(x – 4).(x + 4)

U međuvremenu, drugi polinom je kub zbroja dva člana:

x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)

Dakle, moramo:

2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)

x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)

Prema tome, GCD između polinoma je (x + 4).

Razlika između MMC-a i MDC-a

Zabuna između pojmova MDC i MMC (najmanji zajednički višekratnik). Međutim, dok GCD odgovara najvećem zajedničkom djelitelju, MMC je dan najmanjim zajedničkim višekratnikom.

MMC je vrlo koristan alat u rješavanju razlomljenih jednadžbi jer, općenito, nazivnici od razlomci nisu isti.

U tim situacijama izdvajamo MMC između nazivnika i odatle pišemo ekvivalentni razlomci istog nazivnika.

Međutim, nazivnici nisu uvijek poznati brojevi, oni mogu biti algebarski izrazi ili polinomi. Stoga je uobičajeno izračunati polinom MMC.

U ovom trenutku, važno je ne zbuniti i željeti pronađite GCD jednadžbe, kada je ono što treba izračunati MMC jednadžbe.

Možda će vas također zanimati:

• Vježbe o ekvivalentnim razlomcima
• Kako zbrajati i oduzimati razlomke
• Praktična metoda rješavanja jednadžbi 1. stupnja
• Kriteriji djeljivosti