Osnovno načelo brojanja

osnovno načelo brojanja (PFC) jedna je od metoda brojanja brojeva kombinatorna analiza. Ovaj princip nam omogućuje izračunavanje broja mogućih kombinacija s elementima koji se mogu dobiti na različite načine.

PFC je jednostavna, ali vrlo korisna metoda koja se široko koristi u problemima vjerojatnosti, u određivanju broja mogućih događaja.

vidi više

Učenici iz Rio de Janeira borit će se za medalje na Olimpijskim igrama…

Institut za matematiku otvoren je za prijave za Olimpijadu…

osnovno načelo brojanja

Kako bismo objasnili više o PFC-u, poslužimo se nekim primjerima.

Primjer 1

Da bi išao od svoje kuće do zoološkog vrta, Júlio mora sjesti na autobus koji ga vozi do stanice, a na stanici mora sjesti na drugi autobus.

Pretpostavimo da postoje tri autobusne linije koje vas voze do stanice, linije A1, A2 i A3, i da postoje dvije linije koje vas vode od stanice do zoološkog vrta, linije B1 i B2. Donji dijagram ilustrira ovu situaciju:

Na što više načina Júlio može ići od svoje kuće do zoološkog vrta, kombinirajući dostupne autobusne linije.

Iz ilustracije možemo vidjeti da postoji ukupno 6 mogućnosti. Međutim, ovaj rezultat možemo otkriti i bez ilustracije.

Pomoću PFC-a množimo broj mogućih linija u prvom dijelu puta s brojem mogućih linija u drugom dijelu:

Od kuće do stanice: Linije A1, A2 i A3 → 3 različiti putevi;
Od kolodvora do zoološkog vrta: Linije B1 i B2 → 2 različiti putevi;

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 2 6}$

Primjer 2

U restoranu gost može birati između 4 opcije za predjelo, 5 opcija za glavno jelo i 3 opcije za desert. Na koliko mogućih načina gost može izabrati predjelo, glavno jelo i desert u ovom restoranu?

Zabranjeno: 4 mogućnosti;
Glavno jelo: 5mogućnosti;
Desert: 3 opcije.

S PFC-om, samo pomnožite ove tri količine: $\dpi{120} \boldsymbol{4 \times 5 \times 3 60}$

Dakle, u ovom restoranu postoji 60 mogućih kombinacija koje kupac može birati, uz predjelo, glavno jelo i desert.

Primjer 3

Koliko se različitih riječi može sastaviti promjenom redoslijeda slova u riječi ŠKOLA?

Pazite da se slova riječi škola ne ponavljaju, sva su različita. Tada ni u formiranim riječima ne može biti ponovljenih slova.

Uzimajući u obzir 6 mogućih položaja slova u riječi, imamo:

1. pozicija: 6 pisma dostupna;
2. pozicija: 5 pisma dostupna;
3. pozicija: 4 pisma dostupna;
4. pozicija: 3 pisma dostupna;
5. pozicija: 2 pisma dostupna;
6. pozicija: 1 pismo dostupno.

S PFC-om, samo pomnožite ove količine:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 720}$

Pogledajte koliko je važan PFC! Bez toga bismo morali zapisivati sve moguće riječi i zatim ih prebrojati da bismo došli do broja 720.

Riječi nastale od slova drugog nazivaju se anagrami.

Vjerojatnost

PFC ima dosta primjene u problemima vjerojatnost. Načelo se koristi za određivanje broja mogućih događaja u eksperimentu.

Primjer:

Kocka se baca tri puta za redom i provjerava se dobiveno lice. Kolika je vjerojatnost da postoji parno lice pri prvom bacanju, neparno lice pri drugom bacanju i lice veće od 4 pri trećem bacanju?

Povoljni slučajevi:

1. lansiranje: 3 mogućnosti (lica 2, 4 i 6);
2. lansiranje: 3 mogućnosti (lica 1, 3 i 5);
3. lansiranje: 2 mogućnosti (lice 5 i 6).

Po PFC-u, da biste dobili broj povoljnih slučajeva, samo pomnožite količine:

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 3 \times 2 18}$

Mogući slučajevi:

1. lansiranje: 6 mogućnosti (lica 1, 2, 3, 4, 5 i 6);
2. lansiranje: 6 mogućnosti (lica 1, 2, 3, 4, 5 i 6);
3. lansiranje: 6 mogućnosti (lica 1, 2, 3, 4, 5 i 6).

Pomoću PFC-a također možemo dobiti broj mogućih slučajeva:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 6\times 6 216}$

Dakle, možemo izračunati željenu vjerojatnost:

$\dpi{120} \boldsymbol{P \frac{Ukupno \, od \, slučajeva\, \acute{a}able}{Ukupno \, od\, mogućih \ slučajeva} \frac{18}{216} \ frac{ 1}{12} \približno 0,083}$

Stoga je šansa da se pojavi parno lice pri prvom bacanju, neparno lice pri drugom bacanju a lice veće od 4 u trećem bacanju je jedan od dvanaest, što je jednako otprilike 0,083 ili 8,3%.

Kombinatorna analiza

Iz PFC-a se dobivaju druge tehnike brojanja elemenata: permutacija, raspored i kombinacija.

Permutacija

Omogućuje vam da izračunate broj mogućnosti organiziranja ukupno n elemenata, mijenjajući položaje elemenata među sobom.

$\dpi{120} P_n n!$

Uređenje

Omogućuje izračunavanje broja mogućnosti organiziranja n elemenata u skupine veličine p, kada je redoslijed elemenata važan unutar svake skupine.

$\dpi{120} A_{n, p} \frac{n!}{(n-p)!}$

Kombinacija

Omogućuje izračunavanje broja mogućnosti organiziranja n elemenata u skupine veličine p, kada je redoslijed elemenata Ne je važno unutar svake grupe.

$\dpi{120} C_{n, p} \frac{n!}{p!(n-p)!}$

Možda će vas također zanimati:

uvjetna vjerojatnost
Statistički
Grupiranje podataka u raspone
Mjere disperzije
Srednja vrijednost, mod i medijan

Osnovno načelo brojanja

osnovno načelo brojanja

Vjerojatnost

Kombinatorna analiza

Kraj dodatne tarife za energiju dolazi sada u travnju, prema Vladi

Saznajte tko može zatražiti socijalnu tarifu za struju

Čitanje, engleski, matematika i druge aktivnosti