Trigonometrijske funkcije dvostrukog luka

U studiji o trigonometrijske funkcije, često postoje problemi koji uključuju dvostruki lukovi. Stoga, poznavanje specifičnih formula sinus, kosinus to je tangens ova vrsta luka je temeljna za pojednostavljivanje mnogih izračuna.

Razmotrite bilo koji mjerni luk $\dpi{120} \alpha$ , dvostruki luk je luk mjere $\dpi{120} 2\alpha$ . Na taj način želimo dobiti formule sinusa $\dpi{120} 2\alpha$ , kosinus od $\dpi{120} 2\alpha$ i tangenta od $\dpi{120} 2\alpha$ .

vidi više

Učenici iz Rio de Janeira borit će se za medalje na Olimpijskim igrama…

Institut za matematiku otvoren je za prijave za Olimpijadu…

Ove formule mogu se dobiti od dvolučne adicione formule:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Sjetite se upotrebe ovih formula iz primjera u kojem sinus od 75° dobivamo iz sinusa i kosinusa od izvanredne kutove 30° i 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Sada, da vidimo kako formule od trigonometrijske funkcije dvostrukog luka.

Trigonometrijske funkcije dvostrukih lukova

S obzirom na luk mjere $\dpi{120} \alpha$ , dvostruki luk je luk mjere $\dpi{120} 2\alpha$ . Od $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , možemo koristiti formule za zbrajanje dva luka da dobijemo formule za dvostruki luk.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Stoga, dvostruki arc sinus dobiva se sljedećom formulom:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Vidite sad to:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Stoga, dvostruki arc kosinus dobiva se sljedećom formulom:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Što se tiče tangente, imamo:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$

$\dpi{120} \mathbf{ \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}$

Stoga, dvostruka arc tangenta dobiva se sljedećom formulom:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha}) \frac{2\cdot tan\, \boldsymbol{\alpha} }{1 - tan^2\, \boldsymbol{\alpha}}}$

Možda će vas također zanimati:

trigonometrijski krug
trigonometrijska tablica
trigonometrijski odnosi
Lukovi s više od jednog okreta

Trigonometrijske funkcije dvostrukog luka

Trigonometrijske funkcije dvostrukih lukova

8 poznatih stvarnih vještica

Glagoli na slovo J

Stone nudi slobodna radna mjesta u raznim regijama Brazila