O legnagyobb közös osztó(MDC) kettő vagy több között egész számok a legnagyobbnak felel meg osztó közös, ami létezik közöttük. Közte polinomok, az MDC-nek ugyanez az ötlete.
Ezért ahhoz, hogy megértsük, hogyan kell kiszámítani a polinomok közötti GCD-t, fontos tudni, hogyan kell kiszámítani az egész számok GCD-jét.
többet látni
Rio de Janeiró-i diákok érmekért küzdenek az olimpián…
A Matematikai Intézetben lehet jelentkezni az olimpiára…
Gyakorlatilag az MDC-t a termék szorzataként kaphatjuk meg elsődleges tényezők közösek, amelyek a számok között léteznek.
Példa: Számítsa ki a GCD-t 16 és 24 között.
Főtényezőkre bontás:
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 ⇒ 16 = 2. 2. 2. 2. 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 ⇒ 24 = 2. 2. 2. 3
A 16 és 24 közötti GCD a két szám közös tényezőinek szorzata, azaz
GCD(16; 24) = 2. 2. 2 = 8.
Most pedig lássuk hogyan találjuk meg a polinomok GCD-jét. Kezdjük a legegyszerűbb esettel, egyetlen tagból álló polinomokkal: a monomiálisok.
Nézzünk néhány példát arra, hogyan lehet kiszámítani a GCD-t két vagy több monom között.
1. példa: MDC 6x és 15x között.
Elsődleges tényezőkre bontva a következőket kapjuk:
6 = 2. 3 és 15 = 3. 5
Ezért az egyes monomokat a következőképpen írhatjuk fel:
6x = 2. 3. x
15x = 3. 5. x
Ezért az MDC az 3x.
2. példa: MDC 18x²y és 30xy között.
Elsődleges tényezőkre bontva a következőket kapjuk:
18 = 2. 3. 3 és 30 = 2. 3. 5
Ezért az egyes monomokat a következőképpen írhatjuk fel:
18x²y = 2. 3. 3. x². y = 2. 3. 3. x. x. y
30xy = 2. 3. 5. x. y
2. 3. x. y = 6x
Tehát az MDC az 6xy.
A polinomok GCD-jének meghatározásához először ellenőrizzük, hogy lehetséges-e mindegyiket faktorozni. Ehhez technikákat használunk polinomiális faktorizáció.
1. példa: GCD (x² – y²) és (2x – 2y) között.
Figyeljük meg, hogy az első polinom két négyzet különbségének felel meg. Tehát a következőképpen számolhatjuk:
x² – y² = (x – y).(x + y)
Már a második polinomban is felírhatjuk a közös tényezőt, a 2-t bizonyítékként:
2x – 2y = 2.(x – y)
Ilyen módon a következőkkel rendelkezünk:
x² – y² = (x - y).(x + y)
2x – 2y = 2.(x - y)
Tehát a polinomok közötti GCD az (x - y).
2. példa: GCD (x³ + 27) és (x² + 6x + 9) között.
Az első polinom két kocka közötti összegnek felel meg, lásd:
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x + 3). (x² – 3x + 9)
És a második polinom, két tag összegének négyzetével:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (x + 3). (x + 3)
Tehát nekünk kell:
x³ + 27 = (x + 3).(x² – 3x + 9)
x² + 6x + 9 = (x + 3).(x + 3)
Ezért a polinomok közötti GCD az (x + 3).
3. példa: GCD (2x² – 32) és (x³ + 12x² + 48x + 64) között.
Itt az első polinom két négyzet közötti különbség:
2x² – 32 = 2. (x² – 16) = 2. (x² – 4²) = 2. (x – 4). (x + 4)
Eközben a második polinom két tag összegének kocka:
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x)³ + 3. (x²). (4) + 3. (4²). (x) + (4)³ = (x + 4)³ = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Tehát nekünk kell:
2x² – 32 = 2.(x – 4).(x + 4)
x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4).(x + 4).(x + 4)
Ezért a polinomok közötti GCD az (x + 4).
Zavar az MDC fogalmai és MMC (legkisebb közös többszörös). Míg azonban a GCD a legmagasabb közös osztónak felel meg, az MMC-t a legalacsonyabb közös többszörös adja.
Az MMC nagyon hasznos eszköz a törtegyenletek megoldásában, mivel általában a nevezői törtek nem egyformák.
Ilyen helyzetekben annyit teszünk, hogy kivonjuk az MMC-t a nevezők között, és onnan írunk egyenértékű törtek azonos nevezőjű.
A nevezők azonban nem mindig ismert számok, lehetnek algebrai kifejezések vagy polinomok. Ezért gyakori, hogy ki kell számítani a polinom MMC.
Ebben az időben fontos, hogy ne keverjük össze és ne akarjuk keresse meg az egyenlet GCD-jét, amikor az egyenlet MMC-jét kell kiszámítani.
Önt is érdekelheti:
