Kettős ívű trigonometrikus függvények

A tanulmányában trigonometrikus függvények, gyakran merülnek fel problémák kettős ívek. Ezért, ismerve a konkrét képleteket a szinusz, koszinusz Ez tangens ez a fajta ív alapvető fontosságú számos számítás egyszerűsítésében.

Tekintse meg a mérték bármely ívét $\dpi{120} \alpha$ , a kettős ív a mérték íve $\dpi{120} 2\alpha$ . Ily módon szinuszos képleteket szeretnénk kapni $\dpi{120} 2\alpha$ , koszinusza $\dpi{120} 2\alpha$ és érintője $\dpi{120} 2\alpha$ .

többet látni

Rio de Janeiró-i diákok érmekért küzdenek az olimpián…

A Matematikai Intézetben lehet jelentkezni az olimpiára…

Ezeket a képleteket a kétíves összeadási képletek:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

Emlékezzen e képletek használatára egy olyan példából, ahol a 75° szinuszát a szinuszból és koszinuszból kapjuk figyelemre méltó szögek 30° és 45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0,96$

Most lássuk, hogyan a képletek a kettős ívű trigonometrikus függvények.

Kettős ívek trigonometrikus függvényei

Adott egy mértékív $\dpi{120} \alpha$ , a kettős ív a mérték íve $\dpi{120} 2\alpha$ . Mivel $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , használhatjuk a képleteket két ív hozzáadására, hogy megkapjuk a kettős ív képleteit.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Ezért a kettős ívű szinusz a következő képlettel kapjuk:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

Most lásd:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha}}$

Ezért a kettős ív koszinusz a következő képlettel kapjuk:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

Ami az érintőt illeti:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$