Van néhány technika polinomiális faktorizáció amelyek lehetővé teszik, hogy két vagy több polinom szorzataként írjuk fel őket.
Ha szeretné megtanulni, hogyan kell egy kifejezést kiemelni, végezzen csoportosítást, írjon tökéletes négyzetes trinomikusként, és sok más típust nevezetes termékek, nézz meg egyet a megoldott számlázási gyakorlatok listája hogy elkészítettük.
többet látni
Rio de Janeiró-i diákok érmekért küzdenek az olimpián…
A Matematikai Intézetben lehet jelentkezni az olimpiára…
1. kérdés. A közös tényezőt bizonyítékokká írva, faktorizálva a polinomokat:
a) 15x + 15 év
b) x² + 9xy
c) ab – a³b³
d) a²z + abz
2. kérdés. Tényező az egyes polinomokat:
a) x² – xy – x
b) 24x³ – 8x² – 56x³
c) a.(x + y) – b.(x + y)
d) b.(a – x) – c.(a – x)
3. kérdés A klaszterezés és a közös bizonyíték-tényező technikák használatával faktorálja a következő polinomokat:
a) a² + ab + ax + bx
b) bx² – 2x + 5x² – 10 év
c) 2an + n -2am – m
d) ax – bx + cx + ay – + cy
4. kérdés. Az alábbi polinomok két négyzet különbségét mutatják. Írja le mindegyiket faktoros formában!
a) a² – 64
b) (x – 4)² – 16
c) (y + 1)² – 25
d) x² – (x + y)²
5. kérdés. Tényezőzzük a következő polinomot szorzásként írva:
(a – b + 2)² – (a – b – 2)²
6. kérdés. Ellenőrizze, hogy az alábbi trinomok mindegyike tökéletes négyzetes trinomot jelent-e, majd végezze el a faktorizálást.
a) a² – 10ab + 25b²
b) x² – 8x + 25
c) 9x² – 6x + 1
d) 16a² + 24ab + 9b²
7. kérdés. Egészítse ki az alábbi polinomot úgy, hogy tökéletes négyzetes trinom legyen.
x² + 4x
8. kérdés. Faktoring technikák segítségével keresse meg az egyenletek gyökereit:
a) x² – 9x = 0
b) x² – 64 = 0
c) y² – y = 0
d) x² – 1 = 0
a) 15x + 15y = 15.(x + y)
b) x² + 9xy = x.(x + 9y)
c) ab – a³b³ = ab.(1 – a²b²)
d) a²z + abz = az.(a + b)
a) x² – xy – x = x.(x – y -1)
b) 24x³ – 8x² – 56x3 = 8x². (3x – 1 – 7x)
c) a.(x + y) – b.(x + y) = (x + y).(a + b)
d) b.(a – x) – c.(a – x) = (a – x).(b – c)
a) a² + ab + ax + bx = a.(a + b) + x (a + b) = (a + b).(a + x)
b) bx² – 2x + 5x² – 10y = bx² + 5x² – 2x – 10y = x².(b + 5) – 2y.(b + 5) = (b + 5).(x² – 2y)
c) 2an + n -2am – m = n.(2a + 1) – m.(2a + 1) = (2a + 1).(n – m)
d) ax – bx + cx + ay – a + cy = x.(a – b + c) + y.(a – b + c) = (a + b + c).(x + y)
a) a² – 64 = (a + 8).(a – 8)
b) (x – 4)² – 16 = ((x – 4) + 4). ((x – 4) – 4) = (x – 4 + 4). (x – 4 – 4) = x. (x – 8)
c) (y + 1)² – 25 = ((y + 1) + 5). ((y + 1) - 5) = (y + 1 + 5). (y + 1 - 5) = (y + 6). (y - 4)
d) x² – (x + y) ² = (x + (x + y)). (x – (x + y)) = (x + x + y).(x – x – y) = (2x + y).(- y) = -y.(2x + y)
(a – b + 2)² – (a – b – 2)² =
((a – b + 2) + (a – b – 2)). ((a – b + 2) – (a – b – 2)) =
(a – b + 2 + a – b – 2). (a – b + 2 – a + b + 2) =
(2a–2b). (4) =
4.(2a–2b)
a) a² – 10ab + 25b²
Először vesszük a négyzetgyököt a négyzetre emelt kifejezésekből:
√a² = A
√25b² = 5b
Mint 2. A. 5b = 10ab → a trinom maradék tagja. Tehát a polinom tökéletes négyzetháromság.
Tényező: a² – 10ab + 25b² = (a – 5b)²
b) x² – 8x + 25
√x² = x
√25 = 5
2. x. 5 = 10x → nem egyezik a fennmaradó taggal, amely 8x. Tehát a polinom nem tökéletes négyzetes trinom.
c) 9x² – 6x + 1
√9x² = 3x
√1 = 1
2. 3x. 1 = 6x → a trinom maradék tagja. Tehát a polinom tökéletes négyzetháromság.
Tényező: 9x² – 6x + 1 = (3x – 1)²
d) 16a² + 24ab + 9b²
√16a² = 4
√9b² = 3b
2. 4. 3b = 24ab → a trinomiális maradék tagja. Tehát a polinom tökéletes négyzetháromság.
Tényező: 16a² + 24ab + 9b² = (4a + 3b)²
x² + 4x
Tökéletes négyzetháromtagot kell írnunk a következőképpen: x² + 2xy + y² = (x + y)²
Tehát meg kell találnunk y értékét. Nekünk van:
2xy = 4x
2y = 4
y = 4/2
y = 2
Így a polinomhoz hozzá kell adnunk az y² = 2² = 4 tagot, hogy tökéletes négyzetes trinomiális legyen: x² + 4x + 4 = (x + 2)².
a) X elhelyezése bizonyítékként:
x.(x – 9) = 0
Ekkor x = 0 vagy
x – 9 = 0 ⇒ x = 9
Gyökerei: 0 és 9
b) Két négyzet között van különbség:
x² – 64 = 0
⇒ (x + 8). (x – 8) = 0
Vagyis x + 8 = 0 vagy x - 8 = 0.
x + 8 = 0 ⇒ x = -8
x – 8 = 0 ⇒ x = 8
Gyökerek: -8 és 8.
c) y bizonyítékként való bemutatása:
y.(y – 1) = 0
Tehát y = 0 vagy y - 1 = 0.
y – 1 = 0 ⇒ y = 1
Gyökerei: 0 és 1
d) Emlékezzünk arra, hogy 1 = 1², különbség van két négyzet között:
x² – 1 = 0
⇒ (x + 1). (x – 1) = 0
Ezért x + 1 = 0 vagy x - 1 = 0.
x + 1 = 0 ⇒ x = -1
x – 1 = 0 ⇒ x = 1
Gyökerek: – 1 és 1.
Lásd még:
