Sum Cube és Difference Cube két típusa van nevezetes termékek, ahol két tagot összeadunk vagy kivonunk, majd kockára vágunk, azaz 3-mal egyenlő kitevővel.
(x + y) ³ -> összeg kocka
többet látni
Rio de Janeiró-i diákok érmekért küzdenek az olimpián…
A Matematikai Intézetben lehet jelentkezni az olimpiára…
(x – y) ³ -> különbség kocka
Az összegkockát úgy is felírhatjuk (x+y). (x+y). (x + y) és a különbség kockája as (x – y). (x – y). (x - y).
Ezek a termékek jelentős termékek elnevezését kapják jelentőségük miatt, mivel gyakran szerepelnek az algebrai számításokban.
Ne feledje, hogy a matematikában ugyanaz a kifejezés más módon is felírható, de anélkül, hogy megváltoztatná az értékét. Például az x + 1 + 1 egyszerűen felírható x + 2-ként.
Gyakran, amikor átírunk egy kifejezést, sok algebrai problémát leegyszerűsíthetünk és megoldhatunk. Ezért lássunk egy másik módot az összeg és a különbség kockájának felírására, algebrai fejlesztéssel.
O összeg kocka a figyelemre méltó (x + y) ³ szorzat, amely megegyezik (x + y). (x+y). (x+y). Így írhatjuk:
(x + y) ³ = (x + y). (x+y). (x + y)
Most, ha figyelembe vesszük, hogy (x + y). (x + y) = (x + y) ² = x² + 2xy + y², az összeg kockája így írható fel:
(x + y) ³ = (x + y). (x² + 2xy + y²)
A polinom szorzása (x + y) (x² + 2xy + y²) alapján láthatjuk, hogy:
(x + y) ³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³
Hasonló kifejezéseket összeadva azt kapjuk, hogy az összeg kockáját a következő képlet adja:
(x + y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Példa:
Fejlessze az egyes kockákat algebrailag:
a) (x + 5)²
(x + 5)² = (x) ³ + 3. (x) ². (5) + 3. (x). (5)² + (5)³
= x³ + 3,x², 5 + 3,x, 25 + 125
= x³ +15x² +75x + 125
b) (1 + 2b) ³
(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3. (1)². (2b) + 3. (1). (2b) ² + (2b) ³
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³
= 1 + 6b + 12b² + 8b³
O különbség kocka a figyelemre méltó (x – y) ³ szorzat, amely megegyezik (x – y) szorzattal. (x – y). (x – y). Tehát nekünk kell:
(x – y) ³ = (x – y). (x – y). (x - y)
Tetszik (x – y). (x – y) = (x – y) ² = x² – 2xy + y², a különbség kockája így írható fel:
(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)
Az (x – y)-t (x² – 2xy + y²) megszorozva láthatjuk, hogy:
(x – y) ³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
Hasonló kifejezéseket hozzáadva azt kapjuk, hogy a különbség kockáját a következő képlet adja:
(x – y) ³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
Példa:
Fejlessze az egyes kockákat algebrailag:
a) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x³ – 3,x², 2 + 3,x, 4 – 8
= x³ – 6x² + 12x – 8
b) (2a – b) ³
(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³
= 8a³ – 3,4a².b + 3,2a.b² – b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
Önt is érdekelheti:
