Prinsip dasar berhitung

click fraud protection

prinsip dasar berhitung (PFC) adalah salah satu metode penghitungan angka analisis kombinatorial. Prinsip ini memungkinkan kita menghitung jumlah kemungkinan kombinasi dengan elemen yang dapat diperoleh dengan berbagai cara.

PFC adalah metode yang sederhana namun sangat berguna, banyak digunakan dalam masalah probabilitas, dalam menentukan jumlah kejadian yang mungkin terjadi.

lihat lebih banyak

Siswa dari Rio de Janeiro akan bersaing memperebutkan medali di Olimpiade…

Institut Matematika membuka pendaftaran untuk Olimpiade…

prinsip dasar berhitung

Untuk menjelaskan lebih lanjut tentang PFC, mari kita gunakan beberapa contoh.

Contoh 1

Untuk pergi dari rumahnya ke kebun binatang, Júlio harus naik bus yang membawanya ke stasiun dan, di stasiun, dia perlu naik bus lagi.

Misalkan ada tiga jalur bus yang membawa Anda ke stasiun, jalur A1, A2 dan A3, dan ada dua jalur yang membawa Anda dari stasiun ke kebun binatang, jalur B1 dan B2. Diagram di bawah mengilustrasikan situasi ini:

Dengan berbagai cara, Júlio dapat pergi dari rumahnya ke kebun binatang dengan menggabungkan jalur bus yang tersedia.

instagram story viewer

Dari ilustrasi tersebut, kita dapat melihat bahwa total ada 6 kemungkinan. Namun, kita dapat menemukan hasil ini bahkan tanpa ilustrasi.

Dengan PFC, kami mengalikan jumlah kemungkinan garis di bagian pertama jalur dengan jumlah kemungkinan garis di bagian kedua:

Dari rumah ke stasiun: Jalur A1, A2 dan A3 → 3 cara yang berbeda;
Dari stasiun ke kebun binatang: Jalur B1 dan B2 → 2 cara yang berbeda;

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 2 6}$

Contoh 2

Di sebuah restoran, pelanggan dapat memilih antara 4 pilihan makanan pembuka, 5 pilihan makanan utama dan 3 pilihan makanan penutup. Dalam berapa cara seorang pelanggan dapat memilih makanan pembuka, makanan utama, dan makanan penutup di restoran ini?

Dilarang: 4 pilihan;
Menu utama: 5pilihan;
Hidangan penutup: 3 pilihan.

Dengan PFC, kalikan saja ketiga kuantitas ini: $\dpi{120} \boldsymbol{4 \times 5 \times 3 60}$

Oleh karena itu, ada 60 kemungkinan kombinasi yang dapat dipilih pelanggan, mulai dari starter, main course, dan dessert di restoran ini.

Contoh 3

Berapa banyak kata berbeda yang dapat dibentuk dengan mengubah urutan huruf pada kata SEKOLAH?

Pastikan huruf dari kata sekolah tidak diulang, semuanya berbeda. Kemudian, pada kata-kata yang terbentuk, huruf yang diulang juga tidak bisa.

Mempertimbangkan 6 kemungkinan posisi huruf dalam kata, kami memiliki:

posisi 1: 6 surat tersedia;
posisi ke-2: 5 surat tersedia;
posisi ke-3: 4 surat tersedia;
posisi ke-4: 3 surat tersedia;
posisi ke-5: 2 surat tersedia;
posisi ke-6: 1 surat tersedia.

Dengan PFC, kalikan saja jumlah ini:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 720}$

Lihat betapa pentingnya PFC! Tanpa itu, kita harus menuliskan semua kata yang mungkin dan kemudian menghitungnya untuk sampai pada angka 720.

Kata-kata yang dibentuk dari huruf-huruf lain disebut anagram.

Kemungkinan

PFC memiliki banyak aplikasi dalam masalah kemungkinan. Prinsip ini digunakan untuk menentukan banyaknya kejadian yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan.

Contoh:

Sebuah dadu dilempar tiga kali berturut-turut dan wajah yang diperoleh diperiksa. Berapa peluang terdapat sisi genap pada lemparan pertama, sisi ganjil pada lemparan kedua, dan sisi lebih besar dari 4 pada lemparan ketiga?

Kasus yang menguntungkan:

peluncuran pertama: 3 kemungkinan (wajah 2, 4 dan 6);
rilis ke-2: 3 kemungkinan (wajah 1, 3 dan 5);
peluncuran ke-3: 2 kemungkinan (wajah 5 dan 6).

Dengan PFC, untuk mendapatkan jumlah kasus yang menguntungkan, kalikan saja jumlahnya:

$\dpi{120} \boldsymbol{3 \times 3 \times 2 18}$

Kemungkinan kasus:

peluncuran pertama: 6 kemungkinan (wajah 1, 2, 3, 4, 5 dan 6);
rilis ke-2: 6 kemungkinan (wajah 1, 2, 3, 4, 5 dan 6);
peluncuran ke-3: 6 kemungkinan (wajah 1, 2, 3, 4, 5 dan 6).

Dengan PFC, kami juga dapat memperoleh jumlah kemungkinan kasus:

$\dpi{120} \boldsymbol{6 \times 6\times 6 216}$

Dengan demikian, kita dapat menghitung probabilitas yang diinginkan:

$\dpi{120} \boldsymbol{P \frac{Total \, dari \, kasus\, \acute{a}dapat}{Total \, dari\, kemungkinan \ kasus} \frac{18}{216} \ frac{ 1}{12} \kira-kira 0,083}$

Oleh karena itu, peluang muncul dengan muka genap pada lemparan pertama, muka ganjil pada lemparan kedua dan sisi yang lebih besar dari 4 pada lemparan ketiga adalah satu dari dua belas, yang kira-kira sama dengan 0,083 atau 8,3%.

Analisis kombinatorial

Dari PFC diperoleh teknik lain untuk menghitung unsur: permutasi, susunan dan kombinasi.

Permutasi

Memungkinkan Anda menghitung jumlah kemungkinan untuk mengatur total n elemen, mengubah posisi elemen satu sama lain.

$\dpi{120} P_n n!$

Pengaturan

Mengizinkan untuk menghitung jumlah kemungkinan untuk mengatur n elemen dalam grup berukuran p, ketika urutan elemen penting dalam setiap grup.

$\dpi{120} A_{n, p} \frac{n!}{(n-p)!}$

Kombinasi

Hal ini memungkinkan untuk menghitung jumlah kemungkinan pengorganisasian n elemen dalam kelompok ukuran p, ketika urutan elemen TIDAK penting dalam setiap kelompok.

$\dpi{120} C_{n, p} \frac{n!}{p!(n-p)!}$