Moltiplicazione e divisione di frazioni algebriche

Al frazioni algebriche sono le frazioni in cui compaiono polinomi al numeratore e al denominatore o almeno al denominatore.

Esempi:

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$\dpi{120} \mathrm{\frac{2x}{5y}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{x-1}{2y^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{a-b}{a^2-b^2}}$ $\dpi{120} \mathrm{\frac{1}{x^3 -8}}$

Pertanto, la moltiplicazione e la divisione di frazioni algebriche comporta calcoli tra polinomi, ovvero operazioni tra termini con una o più variabili.

Moltiplicazione di frazioni algebriche

UN moltiplicazione di frazioni algebriche è simile a moltiplicazione di frazioni numeriche.

Basta moltiplicare insieme i numeratori e moltiplicare insieme i denominatori.

Ricordalo dentro moltiplicazione dei poteri Se le basi sono uguali, mantieni la base e aggiungi gli esponenti: $\dpi{120} \mathrm{x^n.x^m x^{n+ m}}$ .

Esempi:

a) Calcolare $\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{x^3}{3y}\cdot \frac{5x^2}{2y^3} \frac{x^3\cdot 5x^2}{3y\cdot 2y^ 3} \frac{5x^{5}}{6y^4}}$

b) Calcola $\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x}}$ .

$\dpi{120} \mathrm{\frac{xy}{a^2b}\cdot \frac{a}{2x} \frac{\cancel{\mathrm{x}}\cdot y\cdot \cancel{\mathrm {a}}}{a^{\cancel{2}}\cdot b\cdot 2\cdot \cancel{\mathrm{x}}} \frac{y}{2ab}}$

Nota che quando eseguiamo la moltiplicazione, possiamo semplificare la frazione algebrica annullando i fattori uguali.

Divisione di frazioni algebriche

UN divisione di frazioni algebriche è simile a divisione di frazioni numeriche

. Basta tenere la prima frazione e moltiplicare per il reciproco della seconda frazione.

Il reciproco della seconda frazione si ottiene scambiando numeratore e denominatore.

Esempi:

a) Calcolare $\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y}}$ .

Mantenendo la prima frazione e moltiplicando per il reciproco della seconda si ha:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} }$

Quindi, dobbiamo solo risolvere questa moltiplicazione tra frazioni:

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{3x}{8y}\cdot \frac{4y}{x^5} \frac{12xy}{8x^5y} \frac{3}{2x^4} }$

Il risultato della divisione è quindi:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{3x}{8y}:\frac{x^5}{4y} \frac{3}{2x^4}}$

b) Calcola $\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1}}$ .

Mantenendo la prima frazione e moltiplicando per il reciproco della seconda si ha:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1} \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^ 2-1}{a^4} }$

Ora, risolviamo la moltiplicazione tra frazioni:

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{a}{b+1}\cdot \frac{b^2-1}{a^4} \frac{a\cdot (b^2-1)}{a ^4\cpunto (b+1)} \frac{\cancel{\mathrm{a}}\cdot (b-1)\cdot \cancel{(\mathrm{b+1})}}{a^{\cancel{4}}\cdot \cancel{ (\mathrm{b+1})}} \frac{b-1}{a^3}}$

Per semplicità, nella seconda uguaglianza, usiamo the scomponendo la differenza di due quadrati.

Il risultato della divisione è quindi:

$\dpi{120} \mathrm{\frac{a}{b+1}:\frac{a^4}{b^2-1} \frac{b-1}{a^3}}$

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