Fattorizzazione di espressioni algebriche

espressioni algebriche sono espressioni che visualizzano numeri e variabili e rendono il fattorizzazione di espressioni algebriche significa scrivere l'espressione come moltiplicazione di due o più termini.

La fattorizzazione di espressioni algebriche può semplificare molti calcoli algebrici, perché quando fattorizziamo, possiamo semplificare l'espressione. Ma come fattorizzare espressioni algebriche?

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Per fattorizzare espressioni algebriche, usiamo le tecniche che vedremo in seguito.

factoring per evidenza

La fattorizzazione per evidenza consiste nell'evidenziare un termine comune nell'espressione algebrica.

Questo termine comune può essere solo un numero, una variabile o una moltiplicazione dei due, cioè è a monomio.

Esempio:

fattorizzare l'espressione $\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2}$ .

Si noti che in entrambi i termini di questa espressione appare la variabile $\dpi{120} \mathrm{x}$ , quindi mettiamolo in evidenza:

$\dpi{120} \mathrm{3xy - 2x^2 x\cdot (3y-2x)}$

Factoring per raggruppamento

A fattorizzazione diraggruppamento, raggruppiamo i termini che hanno un fattore in comune. Quindi mettiamo in primo piano il fattore comune.

Il divisore comune è quindi a polinomio e non più un monomio, come nel caso precedente.

Esempio:

fattorizzare l'espressione $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2ay + 5x^2 - 10y}$ .

Si noti che l'espressione è formata dalla somma di più termini e che, in alcuni termini, compare $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ e in altri appare $\dpi{120} \mathrm{y}$ .

Riscriviamo l'espressione, raggruppando insieme questi termini:

$\dpi{120} \mathrm{ax^2 + 5x^2 - 10a - 2a}$

Mettiamo le variabili $\dpi{120} \mathrm{x^2}$ È $\dpi{120} \mathrm{y}$ In evidenza:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-y (2a+10)}$

Ora, vedi che il termine $\dpi{120} \mathrm{y (2y + 10)}$ può essere riscritto come $\dpi{120} \mathrm{y (2a + 2\cdot 5)}$ , da cui possiamo mettere in evidenza anche il numero 2:

$\dpi{120} \mathrm{x^2(a+5)-2y (a+5)}$

come il polinomio $\dpi{120} \mathrm{(a+5)}$ appare in entrambi i termini, possiamo metterlo in evidenza ancora una volta:

$\dpi{120} \mathrm{(a+5)\cdot (x^2-2y)}$

Perciò, $\dpi{120} \mathrm{ax^2 - 2a + 5x^2 - 10a (a+5)\cdot (x^2 - 2a)}$ .

Factoring la differenza di due quadrati

Se l'espressione è una differenza di due quadrati, può essere scritta come il prodotto della somma delle basi e della differenza delle basi. È uno dei prodotti notevoli:

$\dpi{120} \mathrm{(a^2 - b^2) (a +b)\cdot (a-b)}$

Esempio:

fattorizzare l'espressione $\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2}$ .

Si noti che questa espressione può essere riscritta come $\dpi{120} \mathrm{9^2 - (2x)^2}$ , cioè è una differenza di due termini quadrati, le cui basi sono 9 e 2x.

Quindi scriviamo l'espressione come prodotto della somma delle basi e della differenza delle basi:

$\dpi{120} \mathrm{81 - 4x^2 (9+2x)\cdot (9-2x)}$

Factoring del trinomio quadrato perfetto

Nel fattorizzare il trinomio quadrato perfetto, usiamo anche i prodotti notevoli e scriviamo l'espressione come quadrato della somma o quadrato della differenza tra due termini:

$\dpi{120} \mathrm{a^2 + 2ab+b^2 (a + b)\cdot (a+b) (a+b)^2}$

$\dpi{120} \mathrm{a^2 - 2ab+b^2 (a - b)\cdot (a-b) (a-b)^2}$

Esempio:

fattorizzare l'espressione $\dpi{120} \mathrm{x^2 + 22y + 121}$ .

Si noti che l'espressione è un trinomio quadrato perfetto, come $\dpi{120} \mathrm{\sqrt{x^2} x}$ , $\dpi{120} \sqrt{121}11$ È $\dpi{120} \mathrm{2\cdot x\cdot 11 22y}$ .