פונקציות טריגונומטריות של קשת כפולה

במחקר של פונקציות טריגונומטריות, לעתים קרובות יש בעיות הקשורות קשתות כפולות. לכן, הכרת הנוסחאות הספציפיות של ה סינוס, קוסינוס זה מַשִׁיק סוג זה של קשת הוא בסיסי בפישוט חישובים רבים.

שקול כל קשת מידה $\dpi{120} \alpha$ , הקשת הכפולה היא קשת המידה $\dpi{120} 2\alpha$ . בדרך זו, אנו רוצים לקבל נוסחאות סינוס של $\dpi{120} 2\alpha$ , קוסינוס של $\dpi{120} 2\alpha$ ומשיק של $\dpi{120} 2\alpha$ .

ראה עוד

תלמידים מריו דה ז'נרו יתחרו על מדליות באולימפיאדה...

המכון למתמטיקה פתוח להרשמה לאולימפיאדה...

ניתן לקבל נוסחאות אלו מה- נוסחאות הוספת שתי קשתות:

$\dpi{120} \mathbf{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} + sin\, \boldsymbol{\beta} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\beta} - sen\, \boldsymbol{\beta} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{tan(\boldsymbol{\alpha + \beta}) \frac{sen(\boldsymbol{\alpha + \beta})}{cos(\boldsymbol{\alpha + \beta})} \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\beta}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\beta}}}$

זכור את השימוש בנוסחאות אלו מדוגמה שבה אנו מקבלים את הסינוס של 75° מהסינוס והקוסינוס של זוויות יוצאות דופן 30° ו-45°.

$\dpi{120} \mathrm{sen (75^{\circ})sen (30^{\circ} + 45^{\circ}) sin\, 30^{\circ}\cdot cos\, 45^{ \circ} +sen\, 45^{\circ}\cdot cos\, 30^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt {3}}{2} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} }$

$\dpi{120} \mathrm{ \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6} }{4} }$

$\dpi{120} 0.96$

עכשיו, בואו נראה איך הנוסחאות של ה פונקציות טריגונומטריות של קשת כפולה.

פונקציות טריגונומטריות של קשתות כפולות

נתון קשת מידה $\dpi{120} \alpha$ , הקשת הכפולה היא קשת המידה $\dpi{120} 2\alpha$ . מאז $\dpi{120} 2\alpha \alpha + \alpha$ , נוכל להשתמש בנוסחאות להוספת שתי קשתות כדי לקבל את הנוסחאות של הקשת הכפולה.

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha})sen(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) sin\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} + sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

לכן, ה סינוס קשת כפול מתקבל על ידי הנוסחה הבאה:

$\dpi{120} \mathbf{sen (2\boldsymbol{\alpha}) 2. (sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha}) }$

עכשיו, תראה את זה:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha})cos(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) cos\, \boldsymbol{\alpha} \cdot cos\, \boldsymbol{\alpha} - sen\, \boldsymbol{\alpha} \cdot sen\, \boldsymbol{\alpha}}$

$\dpi{120} \mathbf{ cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

לכן, ה קוסינוס קשת כפולה מתקבל על ידי הנוסחה הבאה:

$\dpi{120} \mathbf{cos (2\boldsymbol{\alpha}) cos^2\, \boldsymbol{\alpha} - sin^2\, \boldsymbol{\alpha} }$

לגבי המשיק, יש לנו:

$\dpi{120} \mathbf{tan (2\boldsymbol{\alpha})tan(\boldsymbol{\alpha + \alpha}) \frac{tan\, \boldsymbol{\alpha} + tan\, \boldsymbol{\alpha}}{1 - tan\, \boldsymbol{\alpha} \cdot tan\, \boldsymbol{\alpha}}}$